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tevuac

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fonctions symétriques élémentaires d'un polynome [Résolu]

Bonjour,
J'ai entrepris depuis peu après de nombreuses années en collège de revoir les cours de prépa mais j'ai beaucoup de mal
Cela bloque souvent et je me retrouve dans la peau d'un cancre

pour le système
x+y+z= 0
x3+y3+z3=6  (sommes des cubes)
x5+y5+ y5= 30

je n'arrive pas  à comprendre larelation entre S4(somme des racines  à l'exposant 4) et les fonctions symétriques élémentaires

merci de venir à mon aide

Fred

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Re : fonctions symétriques élémentaires d'un polynome [Résolu]

Salut,

  L'idée de ce genre d'exercices est de calculer les fonctions symétriques élémentaires,
ie ici A_1=x+y+z, A_2=xy+yz+zx et A_3=xyz
En effet, si on connait A_1, A_2, A_3, on peut espérer trouver x,y et z en cherchant
les racines du polynôme (X-x)(X-y)(X-z) qui s'écrit X^3-A_1 X^2+A_2 X-A_3.
Pour cela, on sait que toute fonction symétrique s'écrit comme somme et produit des fonctions
symétriques élémentaires. Ici, on a A_1=0.
D'autre part,
x3+y3+z3=(x+y+z)^3-autre chose.
l'autre chose vaut -3x^2y-3x^2z-3y^2z-6xyz=-3(xy+yz+zx)(x+y+z)+3xyz
C'est-à-dire
x^3+y^3+z^3=A_1^3-3A_2A_1+3A_3
ce qui permet de calculer A_3.
Avec l'autre relation tu peux calculer A_5 et terminer.

Attention! Je me suis certainement trompé dans les calculs!

tevuac

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Re : fonctions symétriques élémentaires d'un polynome [Résolu]

Fred, merci pour la réponse mais je sais exprimer la somme des cubes avec les fonctions symétriques élémentaires c'est pour la somme des puissances d'exposants 4 ou 5 que je bloque (il doit y avoir une astuce que je ne vois pas). J'ai deux corrigés pour cet exercice mais je ne comprends pas S5=-qS3+rS2. c'est probablement assez simple .Je vais laisser décanter...

Barbichu

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Re : fonctions symétriques élémentaires d'un polynome [Résolu]

Hello,
à tout hasard, je vais donner mon calcul, dans l'espoir que ça t'éclaire (même si je ne comprends pas quelle finalité il peut y avoir à exprimer S5 comme combinaison linéaire de S2 et S3, si ce n'est pour donner une idée de comment partir)

Je note [tex]S_n = x^n + y^n + z^n[/tex] et [tex]\sigma_i[/tex] les f.s.e. de K[x,y,z]
(Remarque: les polynômes [tex]S_n[/tex] étant symétriques, il s'expriment comme polynômes en les f.s.e., ie sous la forme [tex]P(\sigma_1,\sigma_2,\sigma_3)[/tex] où [tex]P[/tex] est un polynôme à 3 indéterminées)

On a :
[tex]S_1 = \sigma_1[/tex]
[tex]S_2 = \sigma_1^2 - 2\sigma_2[/tex]
[tex]S_3 = \sigma_1^3 - 3\sigma_1\sigma_2 +3\sigma_3[/tex] (calcul de fred)

A/ Calculons [tex]S_5[/tex] comme polynôme en les f.s.e
  a) Effectuons à présent le calcul de [tex]S_2 S_3[/tex] de deux manières :
    1/ [tex]S_2 S_3 = (\sigma_1^2 - 2\sigma_2)(\sigma_1^3 - 3\sigma_1\sigma_2 +3\sigma_3)[/tex] d'une part
    2/ [tex]S_2 S_3 = (x^2+y^2+z^2)(x^3+y^3+z^3)[/tex] d'autre part

(Remarque : On pourrait faire le calcul de [tex]S_4[/tex] en calculant [tex]S_2S_2[/tex], puis calculer [tex]S_5[/tex] en calculant [tex]S_4S_1[/tex]. De même, mais en moins utile : on peut calculer [tex]S_3[/tex] par [tex]S_1S_2[/tex] plutôt que d'utiliser la méthode de fred)

Calculs :
1/  [tex]S_2 S_3 = (\sigma_1^2 - 2\sigma_2)(\sigma_1^3 - 3\sigma_1\sigma_2 +3\sigma_3)[/tex]
      [tex]= \sigma_1^5 - 5 \sigma_1^3\sigma_2 + 3\sigma_1^2\sigma_3 + 6\sigma_1\sigma_2^2 - 6\sigma_2\sigma_3[/tex]

2/ [tex]S_2 S_3 = (x^2+y^2+z^2)(x^3+y^3+z^3)[/tex]
      [tex]= x^5+y^5+z^5 + x^2y^3 + x^2z^3 + y^2x^3 + y^2z^3 + z^2x^3 + z^2y^3[/tex]
      [tex]= S_5 + (xy)^2(x+y) + (yz)^2(y+z) + (zx)^2(z+x)[/tex]
      [tex]= S_5 + (xy)^2(\sigma_1-z) + (yz)^2(\sigma_1-x) + (zx)^2(\sigma_1-y)[/tex]
      [tex]= S_5 + ((xy)^2 + (yz)^2 + (zx)^2)\sigma_1 -(z(xy)^2 + x(yz)^2 + y(zx)^2)[/tex]
      [tex]= S_5 + ((xy)^2 + (yz)^2 + (zx)^2)\sigma_1 -zxy(xy + yz + zx)[/tex]
      [tex]= S_5 + ((xy)^2 + (yz)^2 + (zx)^2)\sigma_1 -\sigma_3\sigma_2[/tex]

Notons [tex]x'=xy[/tex],  [tex]y'=yz[/tex] et  [tex]z'=zx[/tex] et [tex]S'_n = (x')^n + (y')^n + (z')^n[/tex] et [tex]\sigma'_i[/tex] les f.s.e. de K[x',y',z']

On a  [tex](xy)^2 + (yz)^2 + (zx)^2 = S'_2[/tex] or [tex]S'_2 = \sigma'_1^2 - 2\sigma'_2[/tex]
Avec [tex]\sigma'_1 = xy+yz+zx = \sigma_2[/tex] et  [tex]\sigma'_2 = xyyz+yzzx+zxxy = xyz(x+y+z) = \sigma_1\sigma_3[/tex]
D'où [tex](xy)^2 + (yz)^2 + (zx)^2 = S'2 = \sigma_2^2 - 2\sigma_1\sigma_3[/tex]

On a donc  [tex]S_2 S_3 = S_5+(\sigma_2^2 - 2\sigma_1\sigma_3)\sigma_1-\sigma_3\sigma_2[/tex]
Ou encore  [tex]S_2 S_3 = S_5+ \sigma_1\sigma_2^2 - 2\sigma_1^2\sigma_3-\sigma_3\sigma_2[/tex]

  b) Recollons les morceaux :
[tex]\sigma_1^5 - 5 \sigma_1^3\sigma_2 + 3\sigma_1^2\sigma_3 + 6\sigma_1\sigma_2^2 - 6\sigma_2\sigma_3 = S_5+ \sigma_1\sigma_2^2 - 2\sigma_1^2\sigma_3-\sigma_3\sigma_2[/tex]

D'où [tex]S_5 = \sigma_1^5 - 5 \sigma_1^3\sigma_2 + 3\sigma_1^2\sigma_3 + 6\sigma_1\sigma_2^2 - 6\sigma_2\sigma_3 - \sigma_1\sigma_2^2 + 2\sigma_1^2\sigma_3+\sigma_3\sigma_2[/tex]

ou encore [tex]S_5 = \sigma_1^5 - 5 \sigma_1^3\sigma_2 + 5\sigma_1^2\sigma_3 + 5\sigma_1\sigma_2^2 - 5\sigma_2\sigma_3[/tex]

(Remarque : on peut vérifier l'homogénéité de nos calculs à tout instant en se rendant compte que [tex]S_n[/tex] est homogène de degré n et que [tex]\sigma_i[/tex] est homogène de degré i)

B/ Résolvons l'équation à partir du calcul de [tex]S_1[/tex],  [tex]S_3[/tex],  [tex]S_5[/tex] histoire de conclure sur la solution du problème initial et de vérifier (partiellement) les calculs.

[tex]0 = S_1 = \sigma_1[/tex] donc [tex]\sigma_1=0[/tex]
[tex]6 = S_3 = \sigma_1^3 - 3\sigma_1\sigma_2 + 3\sigma_3 = 3\sigma_3[/tex] donc [tex]\sigma_3 = 2[/tex]
[tex]30 = S_5 = \sigma_1^5 - 5 \sigma_1^3\sigma_2 + 5\sigma_1^2\sigma_3 + 5\sigma_1\sigma_2^2 - 5\sigma_2\sigma_3 = -5\sigma_2\sigma_3 = -10\sigma_2[/tex] donc [tex]\sigma_2 = -3[/tex]

Donc x,y,z sont les solutions de [tex]X^3-3X-2[/tex]. (x,y,z) est donc une "permutation" de (-1,-1,2) ce qui satisfait bien l'equation du début.

En espérant t'avoir débloqué
++

Dernière modification par Barbichu (27-06-2008 12:08:02)

tevuac

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Re : fonctions symétriques élémentaires d'un polynome [Résolu]

Merci à Fred et à Barbichu. C'est super sympa et encourageant d'être aidée par des gens comme vous.
Maintenant je sais faire l'exercice. A une autre fois, peut-être, car j'ai beaucoup à apprendre.