Forum de mathématiques - Bibm@th.net

Julien34235

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Problème de trigo très dur....

Bonjour, je bloque sur ces deux exercice de Trigo vraiment dur...., quelqu'un pour m'aider ? Merci d'avance !

1.
ABCD est un quadrilatère avec ∠DAC = ∠CAB = 55°, ∠ACD = 15° et ∠BCA = 20°.
Calculer ∠ADB

2.
Jule et Inès se trouvent à l'intersection de deux très longues avenues rectilignes formant entre elles un angle de 105°. Jule commence à marche le long de la première avenue à la vitesse de 4km/h alors que Inès s'élance sur la seconde d'un pas alerte : 6km/h. Sachant que leur téléphones ne peuvent être connectés que s'ils sont distants de moins de 16 km, pendant combien de temps nos deux personnages pourront-elles garder le contact?

Bernard-maths

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Re : Problème de trigo très dur....

Bonsoir !

Pour le 1. Si tu fais une figure approximative, en marquant les angles connus ... tu vois que tu peux calculer les angles ADC = 110° et ABC = 105°. Dans le triangle BCD, tu connais la somme des angles CBD + CDB = 145°. Dans ABD tu connais la somme ABD + ADB = 80°. De plus on a trouvé que ADB +BDC = 110° et que ABD + DBC = 105°. Donc tu as 4 égalités pour 4 angles ADB, ABD, BDC et DBC ... système à résoudre !

Pour le 2. Tu peux prendre un repère orthonormé, mettre sur l'axe des x>0 la marche de Inès : point P d'abscisse x = 6t, t en heure ...
Pour Jules, plus compliqué, prendre une demie droite inclinée à 105°, la position de Jules est le point Q de coordonnées : x = 4t cos(105°), y = 4t sin(105°) ...

Il reste à calculer la distance PQ, et voir quand PQ² > 16² ...

Bonne suite !

Bernard-maths

Dernière modification par Bernard-maths (02-12-2022 21:39:15)

yoshi

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Re : Problème de trigo très dur....

Bonjour,

J'ai vu tout  ça hier soir avant d'aller au lit...
1er exo pas de souci...
2e exo : là, je me suis posé des questions...
Décidément,...
La question est 3e ou Lycée ?
Plutôt Lycée, même amateur, quand j'étais en service, d'exos "Borderline", je n'aurais jamais donné ça en 3e...
Plutôt Lycée donc...
Mais à quel niveau 2nde? Je n'y crois pas trop non plus 3e ou 2nde début décembre en Trigo, bof, on n'est pas bien loin...

Au delà, j'avais envisagé la piste du th. d'Al Kashi : bien plus rapide.
On en arrive à une équation type $k.t^2 \geqslant 256$...
Après un temps t (exprimé en h), Inès aura parcouru $4t$ km, Jules $6t$ km, et IJ sera supérieur ou égal à 16 km...

Donc Julien34235, à quel niveau es-tu ? Qu'as-tu déjà fait ?

@+

Bernard-maths

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Re : Problème de trigo très dur....

Bonjour !

Effectivement, Al Kashi est bien mieux ... mais j'étais dans les équations en repère !

Julien ! En 1ère ?

yoshi

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Re : Problème de trigo très dur....

Re,

Bin, tant qu'à répondre à "je bloque sur ces deux exercice de Trigo"...
Je trouve un temps voisinant les 1 h 59 min par excès défaut...
Avec 2 h on dépasse les 16 km : $\sqrt{64+144-192 \cos 105}\approx 16,053 \text{ km}$

@+

[EDIT]
Encore un qui justifie la phrase connue : y a des coups de pied au c... qui se perdent...
Après avoir posté chez nous à 18 h 55 min 55 s, n'en pouvant plus d'attendre, il est allé posté
ici : https://www.maths-forum.com/lycee/bloca … 76662.html à 20 h 33
il y ajoute les précisions suivantes :

j'ai le droit d'utiliser le théorème du Sinus, du Cosinus, les relations de sin/cos/tan dans un triangle rectangle etc Mais pas des théorèmes de trigo éventuellement plus élaborés que j'ai pas vu du coup...

Du coup, qu'est-ce qu'il entend par "des théorèmes de trigo éventuellement plus élaborés" ?
Al Kashi, par ex ?

Dernière modification par yoshi (03-12-2022 12:30:54)

Julien34235

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Re : Problème de trigo très dur....

Bonjour yoshi et Bernard, je suis en 1ère j'ai déjà vu le théorème de Al Kashi.

Pour le 1 c'est bon, merci !

Mais cepandant pour le 2 je bloque toujours car j'ai posé l'équation
(4t)² + (6t)² - 2*(4t)*(6t)*cos(105°) = 16²

avec la distance d² = 16²
et t = temps

mais je n'arrive pas à isoler t ..
comment avez vous fait ?
par tâtonement, j'imagine que je serai bien arrivé à temps = 2h.. mais je ne suis pas sûr d'être autorisé à procéder par tâtonement.

Dernière modification par Julien34235 (03-12-2022 12:02:02)

Julien34235

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Re : Problème de trigo très dur....

[EDIT]
Encore un qui justifie la phrase connue : y a des coups de pied au c... qui se perdent...
Après avoir posté chez nous à 18 h 55 min 55 s, n'en pouvant plus d'attendre, il est allé posté
ici : https://www.maths-forum.com/lycee/bloca … 76662.html à 20 h 33
il y ajoute les précisions suivantes :

j'ai le droit d'utiliser le théorème du Sinus, du Cosinus, les relations de sin/cos/tan dans un triangle rectangle etc Mais pas des théorèmes de trigo éventuellement plus élaborés que j'ai pas vu du coup...

Du coup, qu'est-ce qu'il entend par "des théorèmes de trigo éventuellement plus élaborés" ?
Al Kashi, par ex ?

Quand j'ai dis thm de Cosinus, j'entendais Al Kashi justement.

Mais je pense pas qu'il y a d'autre théorèmes de trigo à part celui là et celui du Sinus.
Je disais ça parce que je savais pas s'il y avais d'autre thm de trigo que j'avais pas encore vu, mais visiblement pas.

yoshi

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Re : Problème de trigo très dur....

RE,

C'est très mal vu de poster le même sujet sur plusieurs sites !
J'appelle ça "Vouloir manger à plusieurs râteliers"...
Isoler t ?
Reprenons (je ne vois pas où est le souci !):
$(4t)^2 + (6t)^2 - 2\times (4t)\times (6t)\times \cos(105°) = 16^2$
Et développons :
$16t^2+36t^2-48t^2\cos(105)=256$
$52t^2 -48t^2\cos(105)=256$
Et là, on factorise :
$t^2(52-48\cos(105))=256$

Je te laisse continuer...

@+

Julien34235

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Re : Problème de trigo très dur....

Désolé, n'ayant jamais posté dans des forum, je ne pensais pas que c'était mal vu.

Je n'avais pas pensé à factoriser.. bien sûr.. Merci!

yoshi

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Re : Problème de trigo très dur....

Ave,

Mon résultat : 1.993 h, soit 1 h 59 min 36 s.
On va dire : peu après 1 h 59 min, ou : entre 1 h 59 min et 2 h...

@+

Bernard-maths

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Re : Problème de trigo très dur....

Bonjour !

2h - 23,693947479510916577730540209733 secondes. Pour être précis ...

yoshi

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Re : Problème de trigo très dur....

Ave Bernard,

Via la console Python (remplace avantageusement une calculatrice, d'autant que je peux importer un module spécifique et calculer avec 20000 décimales si je veux : je l'ai déjà fait pour le nombre d'or où la méthode de Héron me donne pour $\sqrt 5$ les 20000 décimales en quelques secondes) :

>>> from math import sqrt, cos, radians
>>> sqrt(256/(52-48*cos(radians(105)))) --> 1.9934183479223582
(1.9934183479223582 = 1 + 0.9934183479223582)
>>> 0.9934183479223582 * 3600
3576.3060525204896
>>> divmod(3576.3060525204896,60)
(59.0, 36.30605252048963)

Soit 59 min 36 s 31/100e par excès, qui mène à 1 h 59 min 36 s 31/100e par excès...

On est d'accord...

@+