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Alexia

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Pour comprendre le théorème de Galois

Bonjour, j em'appelle Alexia et je suis "chercheuse indépendante en littérature", entendez que j'ai un diplôme de Master 2 et que je cherche à faire un doctorat sur l'analyse d'un journal d'écrivain en particulier: le journal de Denton Welch.

Jusque-là, rien à voir. Sauf que. Je suis plus une matheuse qui a dérivé en littérature qu'autre chose. J'ai fait une première S option maths en 1996 (oui, je sais, pas tout jeune), mais pour des raisons "comportementales", j'ai atterri en L. Sauf que, sans en avoir les compétences, je n'ai de cesse que de rapprocher mes études littéraires des mathématiques (je vais aller lorgner du côté du forum crypto), mais j'ai vraiment beaucoup trop de lacunes. Je viens juste de faire un exercice de factorisation/développement des identités remarquables, j'ai quand même pas tout perdu, mais pas loin.

Où je veux en venir?

Au théorème de Galois.
Je ne sais pas si vous le savez, mais Evariste Galois a inspiré Edgar Allan Poe. Donc le lien entre lui et littérature est déjà effectif. Il se trouve que depuis quelques années, son nom revient sans cesse au cours de mes recherches.

Voilà ma question: comment je peux faire pour comprendre le théorème de Galois vu mes lacunes...? Tout chemin allant de la seconde générale à Galois m'ira.

Gloziou

Invité

Re : Pour comprendre le théorème de Galois

Bonjour,
Je ne suis absolument pas spécialiste ni la théorie de Galois ni du théorème dit de Galois. Je l'ai vu brièvement en M1 et cela me semble compliqué de pouvoir rendre ça vraiment abordable à un niveau lycéen.

J'ai trouvé ce papier : https://www.imo.universite-paris-saclay … dicaux.pdf qui à l'air pas mal du tout (je ne l'ai pas lu en entier) mais je ne pense honnêtement pas que ce soit abordable même pour un bon lycéen.
J'ai également trouvé ce site : http://alain.pichereau.pagesperso-orang … tion7.html j'ai un peu survolé ce qui est écrit et ça me semble assez rigoureux l'avantage est que ça à l'air un peu plus concret (je ne connais pas l'auteur du site donc j'espère qu'il ne dit pas trop de bêtise(s)).

Sinon avant de se lancer dans de telles lectures pour comprendre l'énoncé du théorème de Galois, il faudra certainement se familiariser avec des notions d'algèbre générale (groupes, corps commutatifs etc...) Il faudra aussi regarder un cours sur les extensions de corps (d'ailleurs un tel cours évoque souvent la théorie de Galois il me semble).

Maintenant je peux essayer d'expliquer brièvement quelle est la problématique du théorème de Galois.

Une manière d'introduire le sujet est la suivante :
On travaille avec des nombres qui forment ce qu'on appelle un "corps", autrement dit lorsqu'on prend deux nombres, on sait les additionner, les soustraire les multiplier et effectuer une division (pourvu que ce ne soit pas par $0$).
Ainsi $\mathbb{N}=\{0,1,2,\dots\}$ ensemble des entiers naturels n'est pas un corps car si $4$ et $7$ sont deux entiers naturels alors $4-7$ n'est plus un entier naturel.
$\mathbb{Z}=\{\dots,-2,-1,0,1,2,\dots\}$ ensemble des entiers relatifs n'est pas un corps car $1$ et $2$ sont des entiers relatifs mais $1/2$ n'est pas un entier relatif.
En revanche $\mathbb{Q}$ ensemble des rationnels est un corps, $\mathbb{R}$ ensemble des réels aussi, $\mathbb{C}$ ensemble des complexes aussi (mais il a plein de corps intermédiaires entre $\mathbb{Q}$ et $\mathbb{C}$ autre que $\mathbb{R}$)

Maintenant fixons un corps disons $\mathbb{Q}$ dans lequel on travaille.
On considère un polynôme à coefficients dans ce corps.
Par exemple $P(X)=X^3-X^2+7/2$ est un polynôme à coefficients dans $\mathbb{Q}$.
L’intérêt d'un polynôme à coefficients dans $\mathbb{Q}$ c'est que si je prend un corps qui contient $\mathbb{Q}$ (par exemple $\mathbb{Q}$ ou sinon $\mathbb{R}$ ou autre) et que je prend un élement $x$ de ce nouveau corps, alors on peut calculer $P(x)$ (en effet on sait multiplier et additionner dans un corps).
Si je prend $x\in \mathbb{Q}$ alors je sais que $P(x)\in \mathbb{Q}$ si je prend $x\in \mathbb{R}$ alors $P(x)\in \mathbb{R}$ etc...

Maintenant on se demande : comment résoudre l'équation polynomiale $P(x)=0$ ?
Plutôt on se demande qu'est ce qu'un $x$ qui vérifie $P(x)=0$ ? Lorsqu'on regarde $P(X)=X^2+1$ on voit bien que si $x$ est un rationnel ou même un réel, alors $P(x)\geq 1$ et donc $P(x)\neq 0$ on se dit donc que $P$ n'a pas de racine/zéros (c'est à dire de $x$ tels que $P(x)=0$). Cependant les complexes changent la donne car avec $i$ qui vérifie $i^2=-1$ on obtient bien des solutions de $P(x)=0$. Ce qui est déjà intéressant est que pour fabriquer $P(X)$ on a juste besoin de la connaissance de $\mathbb{Q}$ car ses coefficients sont des rationnels, cependant pour résoudre $P(x)=0$ on doit "sortir" du monde des rationnels pour aller chez les complexes. Cependant c'est une sortie "modérément brutale" du monde des rationnels car $i$ n'est en un certain sens qu'une racine d'un nombre rationnel (racine de $-1$ pour faire hurler les mathématiciens).

Observons ce qui se passe pour les polynômes de degré $1$ et $2$ :
Pour commencer prenons un polynôme de degré $1$.
Alors $P(X)=aX+b$ avec $a\in \mathbb{Q}\setminus\{0\}$ et $b\in \mathbb{Q}$.
On voit que $P(x)=0 \Leftrightarrow x=\frac{-b}{a}$. Ainsi on a trouvé la solution et il s'agit d'un élement de notre corps de départ (ici $\mathbb{Q}$) car la solution s'exprime juste par une division de deux éléments de notre corps (rappel : un corps est stable par division).
Ainsi avec un polynôme de degré $1$ résoudre $P(x)=0$ ne fait jamais sortir du corps de départ.

Continuons avec un polynôme de degré $2$ par exemple $P(X)=X^2-2$
Alors on sait que les solutions sont $x_1=\sqrt{2}$ et $x_2=-\sqrt{2}$. Le fait est que ni $x_1$ ni $x_2$ n'est un élément de notre corps $\mathbb{Q}$ (c'est un exercice assez classique $\sqrt{2}$ n'est pas un nombre rationnel).
En revanche on se rend bien compte dans la notation $\sqrt{2}$ qu'on n'est pas si loin des nombre rationnels. En effet $\sqrt{2}$ est juste un élément $x_1$ d'un corps plus gros que $\mathbb{Q}$ qui vérifie $x_1^2=2$. On est sorti du corps des rationnels mais juste en rajoutant une racine carrée bien choisie.

De manière générale, si on a un polynôme de degré $2$, $P(X) =X^2+bX+c$ alors les racines sont $x_{1,2} = \frac{-b\pm \sqrt{b^2-4c}}{2}$. Où $\sqrt{b^2-4c}$ est juste "un nombre" $\delta$ qui vérifie $\delta^2 = b^2-4c$. Ainsi dans tous les cas les racines de notre polynôme s'expriment de manière simples en fonctions d'éléments de notre corps de base, c'est à dire avec les lois usuelles de notre corps et en plus on a le droit de prendre des racines (ici racines carrés mais pourquoi  pas une racine n-ième si besoin).

Par exemple si $P(X)=X^2+3X+1$ alors $\Delta = b^2-4c = 9-4=5$ donc on pourrait prendre $\delta = \sqrt{5}$ (ou pourrait aussi choisir $\delta = -\sqrt{5}$ mais la convention veut qu'on le choisisse positif).

Si $P(X) = X^2+3X+3$ alors $\Delta = b^2-4c =  9-12=-3$ on pourrait donc prendre $\delta=i\sqrt{3}$ qui vérifie $\delta^2=-3$.

Dans tous les cas, pour un polynôme de degré $2$, alors on peut exprimer les solutions de $P(x)=0$ à partir des nombre connus de notre corps de départ et possiblement avec l'aide d'une racine carrée bien sentie.

Bref on généralise et on dit qu'une équation $P(x)=0$ est résoluble (par radicaux) si les racines de $P(X)$ s'expriment comme des radicaux d'éléments du corps de base (c'est à dire un enchainement de racine $n-ième$, de produit d'additions etc...).

Pour le degré $3$ nous avons les formules dites de Cardan qui nous montrent que pour un polynôme $P\in \mathbb{Q}[X]$ de degré $3$ alors $P(x)=0$ est résoluble par radicaux.

Le théorème de Galois donne une équivalence entre le fait qu'une équation polynomiale soit résoluble et le fait que le groupe de Galois associé à ce polynôme est résoluble (au sens de la théorie des groupes).

Je ne vais pas expliquer ce que ça veut dire qu'un groupe est résoluble au sens de la théorie des groupes car j'ai moi même oublié ce que cela veut dire.

En revanche une conséquence de ce théorème est que si on prend un degré $n\geq 5$ alors il existe des équations polynomiales de degré $n$ à coefficients rationnels non résolubles par radicaux (par exemple $x^5-6x+3=0$).

J'espère que je n'ai pas dit trop de bêtises.

Bonne journée

Alexia

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Re : Pour comprendre le théorème de Galois

Merci beaucoup!!! je copie colle pour travailler ça ce weekend, j'avais bien compris qu'il me fallait faire un gros topo sur le vocabulaire d'algèbre, j'avais commencé, mais avec ces liens je peux espérer y arriver...je reviendrais en cas de "blocage".

Bonne journée!

P.S.: cet "exercice" serait en lien "intuituif" avec une recherche menée sur un journal d'écrivain...si j'y arrive.