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#1 02-11-2022 23:35:50
- Dinoravaje
- Invité
Majorer une suite en terminale
Bonjour, je suis en terminal et il y a un DM sur lequel je bloque.
On nous donne la suite:
(Un) : Un = 1/1² + 1/2² + 1/3² + 1/4² +… + 1/n²
J’ai déjà démontré qu’elle était croissante mais on me demande de la majorer et je n’y arrive pas.
#2 03-11-2022 05:36:41
- Zebulor
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Re : Majorer une suite en terminale
Bonjour,
j ai une petite question ; on te demande de majorer cette suite sans autre précision ? ...Parce que j"ai une idée de majoration spécifique à ton problème - je crois en deviner le but - mais j'imagine qu'à cette période de l'année tu ne sais pas encore ce qu'est une intégrale..
Dernière modification par Zebulor (03-11-2022 06:01:56)
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#3 03-11-2022 11:23:48
- rareStrophe
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Re : Majorer une suite en terminale
Bonjour, bonjour.
Pourquoi utiliser une intégrale ? C'est pas plus simple de juste remarquer que $(u_n) - 1 < \sum\limits_{k=1}^{n-1} \frac{1}{k} - \frac{1}{k+1}$ puis télescoper et enfin voir que $1 - \frac{1}{n} < 1$ ?
Dernière modification par rareStrophe (03-11-2022 11:30:13)
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#4 03-11-2022 11:26:31
- rareStrophe
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Re : Majorer une suite en terminale
J'admets qu'il faut penser au fait que
$$\underbrace{\frac{1}{2^2}}_{\frac{1}{4}=0,25}<\underbrace{\frac{1}{1}-\frac{1}{2}}_{1-0,5=0,5},$$
$$\underbrace{\frac{1}{3^2}}_{\frac{1}{9}=0,11}<\underbrace{\frac{1}{2}-\frac{1}{3}}_{0,5-0,33=0,16},$$
$$\underbrace{\frac{1}{4^2}}_{\frac{1}{16}=0,0625}<\underbrace{\frac{1}{3}-\frac{1}{4}}_{0,33-0,25=0,08},$$
et ainsi de suite.
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#6 03-11-2022 11:42:10
- rareStrophe
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Re : Majorer une suite en terminale
Oh, en effet, je n'avais pas vu l'heure !
Dans tous cas je pense que notre ami à maintenant toutes les cartes en main.
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#8 03-11-2022 12:39:23
- rareStrophe
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Re : Majorer une suite en terminale
Bonjour Fred,
Si l'exercice est bel et bien comme Dinoravaje nous l'a écrit, c'est-à-dire sans indication, peut-être que son professeur a déjà donné cette "astuce" en cours ?
Dernière modification par rareStrophe (03-11-2022 12:47:44)
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#10 03-11-2022 13:07:29
- rareStrophe
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Re : Majorer une suite en terminale
Bah... après on a pas l'exercice exact, juste la lacunaire retranscription de Dinoravaje. J'ose donc imaginer que soit l'astuce a déjà été donné en cours, soit qu'une indication se trouve dans l'énoncé. Dans le cas contraire, c'est un exercice brutalement infaisable, oui. Du moins, sans s'amuser à faire des exercices dans des livres qui préparent à la prépa ou autre.
Dernière modification par rareStrophe (03-11-2022 13:07:46)
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#11 03-11-2022 13:26:39
- Dinoravaje
- Invité
Re : Majorer une suite en terminale
Bah... après on a pas l'exercice exact, juste la lacunaire retranscription de Dinoravaje. J'ose donc imaginer que soit l'astuce a déjà été donné en cours, soit qu'une indication se trouve dans l'énoncé. Dans le cas contraire, c'est un exercice brutalement infaisable, oui. Du moins, sans s'amuser à faire des exercices dans des livres qui préparent à la prépa ou autre.
@Zebulor @rareStrophe @Fred
Bonjour à vous et merci pour vos réponses.
Autant pour moi je n'ai effectivement pas donné toutes les précisions car je ne pensais pas que cela était nécessaire.
On nous donne une autre suite qui est la suivante (Vn) : Vn = Un + 1/n
Dont j'ai déjà prouvé qu'elle était décroissante.
#13 03-11-2022 13:55:56
- Zebulor
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Re : Majorer une suite en terminale
Re,
j'ai tout récemment lu avec intérêt l'autre discussion dans laquelle Fred intervient.
Et pour ce qui est de cette discussion présente, et sans vouloir embrouiller l'esprit de notre ami Diniravaje, ceci : $ \frac{1}{k} - \frac{1}{k+1}$ n 'est qu'une autre écriture de $ -\int_{\frac{1}{k+1}}^{\frac{1}{k}} {\frac{1}{t^2}}\, \mathrm{d}t$
Je viens de voir le post de Diniravaje, et me disais bien que quelque part il y avait un contexte qui le guide..
Dernière modification par Zebulor (03-11-2022 13:59:31)
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#14 03-11-2022 14:03:40
- rareStrophe
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Re : Majorer une suite en terminale
J'ai pas vérifié mais les bornes de l'intégrale sont-elles vraiment des fractions ?
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#16 03-11-2022 14:07:38
- rareStrophe
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Re : Majorer une suite en terminale
Je me disais bien que ça semblait étrange. x)
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#18 03-11-2022 19:18:08
- Dinoravaje
- Invité
Re : Majorer une suite en terminale
Ah oui ça change tout!
Tu sais donc que $u_n<v_n$ pour tout entier $n$ et puisque $(v_n)$ est décroissante on a aussi $v_n<v_1$....
F.
Je pense que cela me suffit amplement, merci beaucoup à vous !
#20 04-11-2022 06:26:07
- Zebulor
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Re : Majorer une suite en terminale
re,
oui merci Gui82,
$ \frac{1}{k} - \frac{1}{k+1}$=$+\int_{{k}}^{{k+1}} {\frac{1}{t^2}}\, \mathrm{d}t$ (quand on a mal dormi, mieux vaut ne pas faire de maths ..)
Dernière modification par Zebulor (04-11-2022 11:21:57)
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