Forum de mathématiques - Bibm@th.net

Glozi

Invité

Halloween et les bonbons

C'est Halloween (bientôt), vous arrivez en déguisement devant la porte du mathématicien du village, vous frappez à la porte et lui dites : "des bonbons ou un sort !".

Cependant le mathématicien ne va pas se laisser faire. Il vous montre deux sachets de bonbons indistinguables, opaques et fermés. Il vous dit que les deux sachets contiennent un nombre différent de bonbons. Mais, lui même étourdi ne se souvient plus dans quel sachet il y a le plus de bonbons.

Il vous donne l'un des deux sachets de bonbons (choisi au hasard) que vous ouvrez. Vous voyez un certain nombre de bonbons.
Le mathématicien vous demande alors si vous voulez garder ce sachet de bonbon, ou si vous voulez l'autre (vous ne pourrez pas changer votre choix ensuite).

Il faut trouver une stratégie afin qu'avec une probabilité $\textbf{strictement}$ supérieure à $1/2$ alors vous choisirez le sachet avec le plus de bonbons !

Quelle serait une telle stratégie ?

▼origine du problème

D'après la page wikipédia, ce problème porte le nom de paradoxe de David Madore. À l'origine il s'énonce avec deux enveloppes chacune ayant un chèque à l'intérieur.

▼indice

Votre stratégie peut faire intervenir de "l'aléatoire".

Bonne chance !

Zebulor

Membre expert

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Re : Halloween et les bonbons

Bonjour,
A première vue le sujet me rappelle une discussion que j'ai trouvée par hasard récemment sur ce site :

https://www.bibmath.net/forums/viewtopic.php?id=2660

Glozi

Invité

Re : Halloween et les bonbons

Bonjour,
Oh ! je découvre cette discussion, neanmoins il me semble que le problème qui est posé est assez différent.
En revanche, j'ai trouvé https://bibmath.net/forums/viewtopic.php?id=15178 qui fait référence au même problème que j'ai énoncé.

Mais ca n'empêche pas ceux qui ne connaissent pas la solution d'y réfléchir. C'est assez peu intuitif qu'il existe une stratégie qui fonctionne je trouve

Bernard-maths

Membre Expert

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Messages : 1 862

Re : Halloween et les bonbons

Bonjour !

Je n'ai pas regardé vos références ! Mais cela me rappelle le même genre de pb en théorie des jeux ...

où l'on trouve > 1/2 au lieu de = 1/2 !!! Et pour moi je ne vois pas la différence ???

B-m

Glozi

Invité

Re : Halloween et les bonbons

Bonjour,
Après, ce que c'est réellement une proba dans le monde réel, je pense que c'est une question philosophique. D'abord, comment expliquer à un enfant ce que ça veut dire "une chance sur deux" sans tourner en rond dans la définition ? On peut évoquer un lancer de pièce équilibré mais ce n'est pas très convaincant de mon point de vue. Ma vision des choses est qu'une probabilité n'a de sens que que lors de la $\textbf{répétition}$ de la même expérience : c'est d'ailleurs ce que dit partiellement la loi des grands nombres.

Il faut imaginer qu'il n'y a pas un seul enfant qui va être soumis à l'expérience des bonbons, mais un grand nombre $N$. On suppose qu'à chaque fois le mathématicien propose l'un de ses deux sachets au hasard (les deux sachets proposés seront les mêmes pour tous les enfants). Et on suppose que tous les enfants ont la même stratégie. On compte le nombre $X$ d'enfants parmi ces $N$ qui ont, grâce à cette stratégie, choisi le paquet le plus avec plus de bonbons.

Nous voulons que "presque sûrement" $\frac{X}{N}$ converge vers une quantité strictement plus grande que $1/2$ (pas $1/2$).
(c'est là ou ça peut coincer car comment faire tendre $N\to\infty$ dans le monde réel ?)

Pour formaliser un peu, on peut écrire $X=\sum_{n=1}^N \mathbb{1}_{A_n}$. Avec $A_n$ l’événement : l'enfant $n$ obtient le paquet avec le plus de bonbons. Les $\mathbb{1}_{A_n}$ sont indépendantes de même loi (car on répète strictement la même expérience sans tenir compte des résultats précédents). La loi forte des grands nombres dit que $\frac{X}{N} \xrightarrow{N\to\infty}\mathbb{P}(A_1)$. Nous voulons donc trouver une stratégie, telle que $\mathbb{P}(A_1)>1/2$.

Pour un énoncé assez "mathématique" du problème :
Si $b_1<b_2$ sont le nombre des bonbons dans chacun des deux sachets. Soit $\varepsilon = Ber(1/2)$ (Bernoulli de paramètre $1/2$)
Alors le but est de trouver une stratégie $f : \mathbb{R} \to \{0,1\}$ telle que $\mathbb{P}(f(b_1 \varepsilon + b_2(1-\varepsilon)) = \varepsilon) >1/2$. (attention $f$ ne connaît pas la valeur de $b_1$ et $b_2$ en revanche $f$ peut elle même être aléatoire, si cet aléatoire est indépendant de $\varepsilon$...) La stratégie consiste à appliquer la fonction $f$ au nombre de bonbons qu'on voit dans le premier sachet. Et on change de sachet si $f$ renvoie $1$ sinon on garde.

J'espère que je ne réponds pas trop à côté de la plaque ?

Bernard-maths

Membre Expert

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Re : Halloween et les bonbons

Bonjour !

@ Glozi, voici le lien  :

https://www.bibmath.net/forums/viewforum.php?id=3

B-m

Dernière modification par Bernard-maths (31-10-2022 15:33:00)

Glozi

Invité

Re : Halloween et les bonbons

Bonjour,
@Bernard-maths, le lien que tu as mis renvoie juste sur la page globale des énigmes si je ne m'abuse

Bernard-maths

Membre Expert

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Messages : 1 862

Re : Halloween et les bonbons

@ Glozi !

Exact, erreur de copie de lien, désolé (ou presque ... :-) :

https://www.google.com/url?client=inter … 8xX64oVsiz

B-m

Dernière modification par Bernard-maths (31-10-2022 18:20:40)

Glozi

Invité

Re : Halloween et les bonbons

Oui effectivement, je m'en suis rendu compte a posteriori, mais effectivement le même problème est proposé dans le lien que tu mentionnes.
My bad

Boody

Membre

Inscription : 31-03-2014

Messages : 183

Re : Halloween et les bonbons

@ Glozi !

Exact, erreur de copie de lien, désolé (ou presque ... :-) :

https://www.google.com/url?client=inter … 8xX64oVsiz

B-m

Bonjour Forum,

Est-ce que la réponse que j'ai proposé dans l'énigme du lien est la même pour celle du présent post mais avec des nombres entiers ?

Glozi

Invité

Re : Halloween et les bonbons

Oui c'est bien ça !