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dluxmath

Invité

Mathematiques financière

Bonjour,
Voici un exercise où je recontre des soucis:
Un emprunt de 40.000 au taux d’intérêts composés annuel de 4% est remboursable sur 10 ans
par mensualités constantes débutant dans 1 mois. Après paiement de la 40e mensualité le débiteur
obtient un sursis de paiement de 4 mois pour cause de problèmes de liquidités.
Quel doit être le montant de la nouvelle mensualité pour respecter l’échéance initiale ?

D‘abord j‘ai fait les calculs suivants:
J‘ai transformé le taux annuel en taux mensuel (taux équivalent)
(1+ia)=(1+im)^12
im=(1+0.04)^(1/12)-1
im=0.0032737 (0.32737%)
Ensuite j‘ai calculé l‘annuité qui est a=(Vo*im)/(1-(1+im)^(-n) ce qui devient a=403,62
Ensuite je calcule la valeur du prêt en periode 41 V41=a*(1-(1+im)^(-41)/(im)=15.462,26
Ensuite j‘ai calculé les intérêts qui courent pendant les 4 période où l‘emprunt court 15.462,26*(1+im)^4=15.665,73412
Après on se trouve en periode 45 avec (120-45)=75 période à courir
avec la formule a‘=(15.665*im)/(1-(1+im)^(-75)
je tombe sur a‘= 239,889696
Ce qui ne peut pas être correct.a>a‘
Mes queations faut-il laisser courir les intérêts pendant la periode du sursis? Où je fais l‘erreur?
Merci

yoshi

Modo Ferox

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Re : Mathematiques financière

Bonjour,

J'ai écrit en Python, il y a un sacré bout de temps, un logiciel de calcul financier, mais j'ai "un peu" oublié les subtilités de l'affaire...
Alors une question :

Ensuite j‘ai calculé les intérêts qui courent pendant les 4 périodes où l‘emprunt court 15.462,26*(1+im)^4=15.665,73412

Ton calcul me paraît bizarre : nulle part tu n'utilises le capital restant dû en début de 41e mois (soit 28367,14 €), pourquoi ?

D'autre part :

Après on se trouve en période 45 avec (120-45)=75 périodes à courir

A partir du 41e versement inclus donc du 41e au 44e inclus il bénéficie d'un sursis, pas d'une prolongation ni d'une diminution de la durée... Pour moi, il doit encore les versements du 41e au 120e soit 80 versements.
En lui proposant 75 périodes de versements, en fait, tout se passera comme s'il avait effectué in fine 115 versements : curieux sursis dans ce cas.

Quant au versement des intérêts durant les 4 mois de sursis, c'était le cas des emprunts avec différé d'amortissement (je ne sais pas si ce genre d'emprunt existe toujours) : durant la période de différé d'amortissement, on payait des intérêts en pure perte (qui ne s'ajoutaient quand même pas au capital restant dû).
Là, il y a "sursis" : que recouvre le mot sursis ? Seul l'auteur de l'exercice le sait...

@+

SAGE 63

Invité

Re : Mathematiques financière

Bonjour a tous

I - ANALYSE DES ELEMENTS FOURNIS PAR L'ENONCE                           
                           
1° L'énoncé dit :                           
                           
"Un emprunt de 40.000 au taux d’intérêts composés annuel de 4% est remboursable sur 10 ans                           
par mensualités constantes débutant dans 1 mois. "                           
                           
Il faut appliquer la théorie des emprunts ordinaires (dits encore emprunts indivis) de fin de période remboursables    par annuités constantes.                           
                           
1) Définition  des emprunts indivis de fin de période remboursables par annuités constantes                           
                           
Un  emprunt indivis est un emprunt réalisé auprès D'UN SEUL PRETEUR.                           
Il est remboursé en un temps déterminé par une série de VERSEMENTS EGAUX ET PERIODIQUES.                           
La première annuité de remboursement est payable UNE PERIODE APRES LE VERSEMENT DU CAPITAL EMPRUNTE.                           
                           
2) Les formules à utiliser                           
                           
a) La formule fondamentale  de la théorie des emprunts indivis de fin de période remboursable par annuités constantes est la suivante :                           
                           
C  =  a  *   [  1 - ( 1 + i ) ⁻ⁿ ]  /  i        (formule 1)                   
                           
avec :                           
                           
C = Capital emprunté                           
a = annuité constante de remboursement                           
n = nombre d'annuités                           
i = taux d'intérêt périodique pour 1 unité monétaire calculé suivant la méthode dite des intérêts composés                           
                           
b) La formule du premier amortissements du capital remboursé périodiquement est la suivante                           
                           
C =  D₁  *  [  ( 1 + i ) ⁿ  - 1  ]  /  i        (formule 2)                   
                           
avec :                           
C = Capital emprunté                           
D₁ = montant du premier amortissement de remboursement du capital                           
n = nombre d'annuités                           
i = taux d'intérêt périodique pour 1 unité monétaire calculé suivant la méthode dite des intérêts composés                           
                           
                           
                           
c) la formule du montant de l'emprunt remboursé après le paiement du  "v ième"  amortissement est la suivante :                           
                           
Mᵥ  =       D₁  *  [  ( 1 + i ) ᵛ  - 1  ]  /  i        (formule 3)               
                           
avec :                           
Mᵥ  =  Montant de l'emprunt remboursé après le paiement du "v ième" amortissement                           
D₁ = montant du premier amortissement de remboursement du capital                           
v = nombre d'annuités remboursées                           
i = taux d'intérêt périodique pour 1 unité monétaire calculé suivant la méthode dite des intérêts composés                           
                           
d) La formule du capital restant à rembourser après le paiement  du "v ième" amortissement                           
                           
CRDᵥ  =  C   -   {     D₁  *  [  ( 1 + i ) ᵛ  - 1  ]  /  i   }        (formule 4 )               
                           
avec :                           
CRDᵥ  =  Capital restant dû après le paiement du "v ième" amortissement                           
C =  Capital emprunté                           
D₁ = montant du premier amortissement de remboursement du capital                           
v = nombre d'annuités remboursées                           
i = taux d'intérêt périodique pour 1 unité monétaire calculé suivant la méthode dite des intérêts composés                           
                           
                           
e) et enfin ne pas oublier que toutes les formules utilisées ci-dessus appliquent la méthode de calcul des intérêts composés.                           
                           
2) L'énoncé dit :                           
                           
"Après paiement de la 40e mensualité le débiteur                           
obtient un sursis de paiement de 4 mois pour cause de problèmes de liquidités."                           
                           
Il s'agit d'expliquer, ici, le terme "sursis de paiement"                           
Le dictionnaire Larousse précise :                           
                           
"Remise de quelque chose à une date ultérieure."                           
                           
Dans le cas présent il s'agit uniquement d'une suspension de paiement pendant 4 mois.                           
                           
En conclusion  la 41 ième annuité, la 42 ième annuité,  la 43 ième annuité                           
et la 44 Ième annuité ne seront pas payées.                           
                           
Il s'agit du seul sursis précisé dans l'énoncé. Toutes les autres obligations concernant l'emprunt et en                           
particuliers le calcul des intérêts de sont pas modifiées.                           
                           
Ainsi, on en déduit que pendant les 4 mois de la période du sursis à paiement il faut calculer des intérêts                           
sur le capital restant dû en appliquant le méthode des intérêts composés au taux prévu dans le contrat d'emprunt.                           
                           
3) L'énoncé dit :                           
                           
"Quel doit être le montant de la nouvelle mensualité pour respecter l’échéance initiale ?"                           
                           
On peut se poser, à juste titre,  la question de savoir de quelle échéance initiale il s'agit.                           
                           
A l'origine de la souscription d'un emprunt on a les renseignements suivants :                           
* montant de l'emprunt                           
* taux d'intérêt de l'emprunt                           
* montant des mensualités                            
* date finale de remboursement de l'emprunt                           
                           
Analysons l'incidence du sursis à paiement sur les élèments suivants :                           
                           
a)  montant de l'emprunt                           
                           
Les intérêts calculés pendant la période de sursis à paiement viendront augmenté le capital restant dû.                           
                           
b) taux d'intérêt de l'emprunt                           
                           
Le taux d'intérêt demeurera inchangé.                           
                           
c) montant des mensualités                            
                           
L'énoncé nous demande de calculer le nouveau montant des mensualités restant à payer.                           
                           
d) date finale de remboursement de l'emprunt                           
                           
A la souscription de l'emprunt la date finale de remboursement total de l'emprunt était au bout de                            
120 mois.                           
                           
En tenant compte de la période de sursis de 4 mois l'emprunt devra être remboursé au bout de                           
120 mois de la date de souscription  de l'emprunt.                           
                           
Ainsi le période de remboursement après le sursis à paiement s'effectuera sur  76 versements mensuels                            
calculé de la façon suivante :                           
                           
* période de remboursement prévue à la souscription  :  120 mois                           
* à déduire :  période de remboursement avant le sursis à paiement : 40 mois                           
* à déduire : période du sursis à paiement : 4 MOIS                           
* soit :  120 -40-4 = 76 mois                           
                           
FIN DE L'ANALYSE DES ELEMENTS FOURNIS PAR L'ENONCE   (ouf…)

SAGE 63

Invité

Re : Mathematiques financière

II - UNE PROPOSITION DE SOLUTION                           
                           
1) Calcul du taux d'intérêt périodique équivalent mensuel                            
                           
L'énoncé dit d'appliqué un taux d'intérêt annuel de  iₐ  =                4%    soit     0,04       pour 1
                           
Le taux d'intérêt périodique mensuel est de :                           
                           
i (m)  =     [ ( 1 + iₐ ) ⅟¹² ] - 1                       
                           
i (m)  =   [       1,04     ⅟¹² ] - 1                   
                           
i (m)  =    1,00327374    -1                   
                           
i (m)  =    0,0032737398                       
                           
Le taux d'intérêt mensuel équivalent est de                0,0032737398    pour 1 soit    0,32737398    %.
                           
2) Calcul du montant des mensualités à  la souscription de l'emprunt                           
                           
Nous avons la formule suivante :                           
                           
C  =  a  *   [  1 - ( 1 + i ) ⁻ⁿ ]  /  i        (voir formule 1 au point I )                   
                           
avec :                           
C =      40 000,00                          
a =     à calculer                       
n =     120                          
i (périodique) =        0,0032737398    pour 1               
                           
qui devient :                           
                           
40 000,00        =  a   *  [ 1 -    1,0032737398    ⁻¹²ᵒ ]  /      0,0032737398           
                           
40 000,00        = a  *  [ 1 -      0,675564169    ]  /      0,0032737398           
                           
40 000,00        =  a  *    0,324435831     /     0,0032737398           
                           
40 000,00        =  a  *    99,10251051                   
                           
40 000,00         /    99,10251051     =    a           
                           
a  =     403,6224692       euros                   
                           
Le montant du chaque remboursement mensuel est de  403,6224692       euros que Je laisse le soin au lecteur d'arrondir.       
                           
3) Montant du capital remboursé juste après le remboursement de la 40 ième mensualité.                           
                           
a) Montant du premier amortissement                           
                           
Le montant du premier amortissement nous est donné par la formule :                           
                           
C =  D₁  *  [  ( 1 + i ) ⁿ  - 1  ]  /  i        (formule 2)                   
                           
avec :                           
C = Capital emprunté   =          40 000,00                      
D₁ = montant du premier amortissement de remboursement du capital  = à calculer                           
n = nombre d'annuités =         120                      
i (périodique) =        0,0032737398    pour 1               
                           
La formule devient :                           
                           
40 000,00        =  D₁  *  [  (  1 +     0,0032737398       ) ¹²⁰  -1  ]   /     0,0032737398              
40 000,00        =  D₁  *  [  (       1,0032737398       ) ¹²⁰  -1  ]   /     0,0032737398              
40 000,00        =  D₁  *  [       1,4802442849         -1 ]  /      0,0032737398              
40 000,00        =  D₁  *       0,4802442849         /     0,0032737398              
40 000,00        =      146,6959248043         D₁                 
  D₁   =     40 000,00        /     146,6959248                  
  D₁   =     272,672878                          
                           
Le premier amortissement du capital  est de    272,672878       euros.           
                           
b) Montant du capital remboursé juste après le remboursement de la 40 ième mensualité.                           
                           
On peut calculer la somme des 40 premiers amortissements en progression géométrique de raison                          1,0032737398      
                           
     272,672878       *  [   (     1,0032737398        ⁴⁰ )  -1 ]  /     0,0032737398          
                           
     272,672878         *  [     1,1396665396       -1    ]  /    0,00327374   
                           
     272,672878        *     0,1396665396        /    0,00327374       
                           
     38,083277         /    0,00327374               
                           
     11 632,957976                          
                           
Le montant du capital remboursé juste après le remboursement de la 40 ième mensualité est de     11 632,957976  euros
                           
4) Montant du capital restant à rembourser juste après le paiement de la 40 ième mensualité                           
                           
On a :                           
                           
Capital emprunté - capital déjà remboursé = Capital restant dû, soit :                           
                           
40 000,00       -11 632,957976         =     28 367,042024                  
                           
Le montant du capital restant à rembourser juste après le paiement de la 40 ième mensualité est de                         28 367,042024       euros.
                           
5) Variation du capital restant dî pendant la période de "sursis à paiement"                           
                           
Le conseil que j'applique des fois : je compte sur mes doigts….                           
                           
a) capital restant dû au début de la période de sursis à paiement                           
                           
Le capital restant dû est identique au capital restant dû après le paiement de la 40 ième mensualité soit    28 367,042024      
                           
b) capital restant dû ) la fin de la période de sursis à paiement                           
                           
La période de sursis a paiement dure 4 ans et se termine à la fin du 44  ième échéance initiale .                           
                           
Durant cette période de sursis à paiement il faut calculer les intérêts produits et capitalisés suivant la méthode dite des intérêts composés, à savoir :                           
                           
28 367,042024       *     1,0032737398       ⁴  =               
28 367,042024        *    1,013159404     =     28 740,335385              
                           
A la fin de la 44 ième échéance initiale le capital restant dû est de                 28 740,335385       euros       
                           
et enfin 6) Le montant de la nouvelle mensualité.                           
                           
Nous avons vu plus haut, paragraphe I - 3 - d, que après la periode de sursis à paiement il restait 76 mensualités à rembourser.                           
                           
Appliquons la formule fondamentale, à savoir :                           
                           
C  =  a  *   [  1 - ( 1 + i ) ⁻ⁿ ]  /  i                           
                           
avec :                           
C =      28 740,335385                          
a =     à calculer                       
n =     76                          
i (périodique) =        0,0032737398    pour 1               
                           
qui devient :                           
                           
28 740,335385        =  a   *  [ 1 -    1,0032737398    ⁻⁷⁶ ]  /      0,0032737398           
                           
28 740,335385        = a  *  [ 1 -      0,780049539    ]  /      0,0032737398           
                           
28 740,335385        =  a  *    0,219950461     /     0,0032737398           
                           
28 740,335385        =  a  *    67,1862994                   
                           
28 740,335385         /    67,1862994     =    a           
                           
a  =     427,77078       euros                   
                           
Le montant du chaque nouvelle mensualité est de    427,77078       euros que Je laisse le soin au lecteur d'arrondir.

SAGE 63

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Re : Mathematiques financière

II - LA VERIFICATION : LE JUGE DE PAIX : LE TABLEAU RECTIFIE DE REMBOURSEMENT DE L'EMPRUNT                       
                       
Il suffit d'établir, à l'aide d'un tableur,  le tableau de remboursement de l'emprunt en respectant les consignes de l'énoncé.                       
                       
On a donc :                       
                       
Numéro    Capital restant    Montant    Intérêt mensuel    Amortissement    Capital restant   
ordre    dû début    mensualité    au taux de    capital    dû fin   
mensualité    de période        0,32737398%        de période   
1     40 000,00000        403,62247        130,94959        272,67288        39 727,32712      
2     39 727,32712        403,62247        130,05693        273,56554        39 453,76158      
3     39 453,76158        403,62247        129,16135        274,46112        39 179,30046      
4     39 179,30046        403,62247        128,26283        275,35963        38 903,94083      
5     38 903,94083        403,62247        127,36138        276,26109        38 627,67974      

Numéro    Capital restant    Montant    Intérêt mensuel    Amortissement    Capital restant
ordre    dû début    mensualité    au taux de    capital    dû fin
mensualité    de période        0,32737398%        de période
39     28 985,51560        403,62247        94,89104        308,73143        28 676,78416   
40     28 676,78416        403,62247        93,88033        309,74214        28 367,04202   
41     28 367,04202       0     92,86631       -92,86631        28 459,90834   
42     28 459,90834       0     93,17033       -93,17033        28 553,07867   
43     28 553,07867       0     93,47535       -93,47535        28 646,55402   
44     28 646,55402       0     93,78136       -93,78136        28 740,33539   
45     28 740,33539        427,77078        94,08838        333,68240        28 406,65299   
46     28 406,65299        427,77078        92,99599        334,77479        28 071,87820   

                   
Numéro    Capital restant    Montant    Intérêt mensuel    Amortissement    Capital restant
ordre    dû début    mensualité    au taux de    capital    dû fin
mensualité    de période        0,32737398%        de période
116     2 118,00714        427,77078        6,93380        420,83697        1 697,17017   
117     1 697,17017        427,77078        5,55609        422,21468        1 274,95549   
118     1 274,95549        427,77078        4,17387        423,59690        851,35858   
119     851,35858        427,77078        2,78713        424,98365        426,37493   
120     426,37493        427,77078        1,39584        426,37493       -0,00000   
                   
     TOTAUX      48 655,47770        8 655,49079        40 000,00000

PS : mille excuses pour le non alignement.....

SAGE 63

Invité

Re : Mathematiques financière

Rectificatif

Dernière ligne :

TOTAUX      48 655,47770        8 655,47770        40 000,00000