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Iman

Invité

Décomposition d'une Fraction

Salut,

Comment peut-on décomposer en éléments simples la fraction

$\dfrac{(t+1)(t^2+1)}{t(t-1)^2}$?

Merci pour vos aides.

Dernière modification par yoshi (22-10-2022 17:54:23)

Glozi

Invité

Re : Décomposition d'une Fraction

Bonjour,
Ça serait bien que tu dises ce que tu as cherché et là ou tu coinces. Sinon il y a plein de cours et de méthodologies sur internet pour ce sujet.
Mais pour faire simple, déjà se ramener au cas ou tu as $\frac{P(t)}{Q(t)}$ avec $deg(P) < deq(Q)$ (dans le cas général c'est juste une division euclidienne, mais dans ton cas ça ne va pas être trop dur).
Ensuite tu dois savoir qu'il existe des coefficients $a,b,c$ tels que $\frac{P(t)}{t(t-1)^2} = \frac{a}{t} + \frac{b}{t-1} + \frac{c}{(t-1)^2}.$
Pour trouver $a,b,c$ toute méthode est bonne à prendre. Une bonne stratégie est par exemple de multiplier à gauche et à droite par $t$ puis $t\to 0$ etc...
Bonne journée

Iman

Invité

Re : Décomposition d'une Fraction

Bonjour,
Ça serait bien que tu dises ce que tu as cherché et là ou tu coinces. Sinon il y a plein de cours et de méthodologies sur internet pour ce sujet.
Mais pour faire simple, déjà se ramener au cas ou tu as $\frac{P(t)}{Q(t)}$ avec $deg(P) < deq(Q)$ (dans le cas général c'est juste une division euclidienne, mais dans ton cas ça ne va pas être trop dur).
Ensuite tu dois savoir qu'il existe des coefficients $a,b,c$ tels que $\frac{P(t)}{t(t-1)^2} = \frac{a}{t} + \frac{b}{t-1} + \frac{c}{(t-1)^2}.$
Pour trouver $a,b,c$ toute méthode est bonne à prendre. Une bonne stratégie est par exemple de multiplier à gauche et à droite par $t$ puis $t\to 0$ etc...
Bonne journée

Le problème c'est quand je multiplie par t-1 , dans ce qui est décomposé , il reste un t-1 au dénominateur , et donc , je peux pas remplacer par t=1 ?
Comment peux-je s'enfuir de ce problème ?
Merci.

Glozi

Invité

Re : Décomposition d'une Fraction

Tu peux multiplier par $(t-1)^2$ puis $t\to 1$ pour trouver $c$. Puis il ne reste que $b$ inconnu, tu peux alors juste identifier un coefficient d'un certain monôme au numérateur par exemple. Sinon méthode plus universelle : tu soustrais à droite et à gauche $\frac{c}{(t-1)^2}$ avec $c$ que tu as trouvé précédemment, puis tu multiplies à droite et à gauche par $(t-1)$ puis $t\to 1$.

Pidelta

Membre

Inscription : 03-10-2020

Messages : 96

Re : Décomposition d'une Fraction

Bonjour,

personnellement, j'aurais d'abord effectué la division euclidienne (car en développant le numérateur et le dénominateur on remarque que le degré du numérateur est égal au degré du dénominateur) ensuite j'aurais décomposé en fractions simples