Forum de mathématiques - Bibm@th.net

Kolnim

Invité

Limite

Salut,
Je veux bloque sur la valeur de la limite quand x tend vers 0,
De [ (1+x)(1+2x)...(1+nx). -1]/x ?

Fred

Administrateur

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Re : Limite

Bonjour,

  Si tu poses $f(x)=(1+x)(1+2x)\cdots (1+nx)$, tu cherches la limite de $(f(x)-f(0))/(x-0)$ ce qui devrait te faire penser à quelque chose....

F.

Zebulor

Membre expert

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Re : Limite

Bonsoir,
juste de passage pour saluer les couche tard dont Fred..
Ca sent le logarithme..

PS : on peut aussi le démontrer par récurrence ..

Bonne nuit

Dernière modification par Zebulor (09-10-2022 21:35:54)

Roro

Membre expert

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Re : Limite

Salut,

Moi, je ne sens pas trop les logarithmes mais plutôt une somme d'entiers... mais il est peu être tard et je ne vois plus très clair !

On verra ce qu'en pense Kolnim.

Bonne soirée,
Roro.

Zebulor

Membre expert

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Re : Limite

re,
somme de $n$ entiers aussi .. plusieurs approches possibles semble t il ..

Bonne soirée

Sergio Hassan

Banni(e)

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Re : Limite

Bonjour. Je crois qu'il faut d'abord factoriser le numérateur puis simplifier les x avant de calculer la limite qui tend vers zéro.

[EDIT]J'ai dû désactiver une fois de plus le lien présent pour la 4e fois vers un site extérieur (le même et qui n'aide en rien le demandeur), malgré mes avertissements : je sévis donc.

      Yoshi
- Modérateur -

Dernière modification par yoshi (10-10-2022 16:21:15)

Black Jack

Membre

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Re : Limite

Bonjour,

Comme je suis loin d'être matheux, je pose une question peut être idiote sur une méthode de calcul.

Ce qui suit est-il mathématiquement correct ?

1°)
Si x > 0 :
(1+x)(1+2x)...(1+nx) >= 1+nx
(1+x)(1+2x)...(1+nx) - 1 >= nx
[(1+x)(1+2x)...(1+nx) - 1]/x >= n

Et donc la suite diverge (cela ne donne évidemment pas la valeur pour n ne tendant pas vers +oo)

Un raisonnement analogue avec x < 0, arrive à la même relation, soit : [(1+x)(1+2x)...(1+nx) - 1]/x >= n

Ce raisonnement est-il mathématiquement correct si le but est uniquement de chercher si la suite est ou non convergente ?

Roro

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Re : Limite

Bonjour Black Jack,

Et donc la suite diverge (cela ne donne évidemment pas la valeur pour n ne tendant pas vers +oo)

Il y a une confusion : à aucun moment la question n'a été de faire tendre $n$ vers l'infini. Si on relit le message initial, $n$ est fixé et c'est $x$ qui tend vers $0$...

Roro.

Zebulor

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Re : Limite

Bonjour,
mon idée était d'écrire $ln(f(x))$ puis dériver membre à membre. De là on trouve que $f'(0)$ est la somme des $n$ premiers entiers...

Black Jack

Membre

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Re : Limite

Bonjour,

Sauf erreur ... on trouve que la limite est égale à n*(n+1)/2

Qui confirme (bien que pas demandé), que cela diverge si n --> +oo

Roro

Membre expert

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Re : Limite

Bonjour,

Sauf erreur ... on trouve que la limite est égale à n*(n+1)/2

Qui confirme (bien que pas demandé), que cela diverge si n --> +oo

Je confirme.

Roro.