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mael17092

Invité

equation reduite de tangente

bonjour je vien ici pour demander de l'aide car cela fait 2 jour que je suis sur cette exercice et que je bloque

l'exo

"dans chacun des cas suivant, déterminer l'équation réduite de la tangente à la courbe représentative de f au point d'abscisse a,a etant un réel donnée"

a) f(x)=3+1/x   a=1

b) f(x)=2x+1/x  a=-1

c) f(x) 4x²-2x+1/x   a=2

merci a la personne qui prendra de sont temps pour me répondre

yoshi

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Re : equation reduite de tangente

Bonjour,

C'est du cours.
Le coefficient directeur de la tangente en un point A d'abscisse a à la courbe représentative d'une fonction f est f'(a) : ça te suffit, j'espère...

@+

mael17092

Invité

Re : equation reduite de tangente

je tien a précisé que pour l'instant j'ai trouver ceci mais j'ai un gros doute sur la véracité de mes calcule

a) F’(1)(x-1)+f(1)

F(1+h)= (3+h)+1/xh)
=3h+1/1h
F(1)= 3h+1/1h
=3h+1/1h

F’(1) = f(1+h)-f(1) / h
=3h+1h+1/1h
/h
=4+4
=8

Donc f’(1)=8

Y=8(x-1)4
Y=8x+1+4
=8x+5

et pour le b

F’(-1)(x+1)+f(-1)

F  (-1+h)-f(-1)  /h
F (-1+h)=2(-1+h)+1/-1h
-2+2h+-1h
1h-2
2*-1+1/-1
-2+-1
=-3

=1h-2+3/h
=1-1h/h
=0

Lim f (-1+h)-f(-1)  /h  =lim0   0

F’(-1)=0

Y=0 (x+1)-3
Y= -3

yoshi

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Re : equation reduite de tangente

Bonsoir,

Tu as raison d'avoir un gros doute : tu n'as pas été assez rigoureux

Question a)
a) f(x)=3+1/x   a=1

a) F’(1)(x-1)+f(1)

F(1+h)= (3+h)+1/xh) ----> Ici tu aurais dû remplacer x par 1+h et tu aurais obtenu $f(1+h)=3+\dfrac{1}{1+h}$
=3h+1/1h
F(1)= 3h+1/1h  ----> Ici tu aurais dû remplacer x par 1et tu aurais obtenu $f(1)=3+\dfrac{1}{1}$
=3h+1/1h

F’(1) = f(1+h)-f(1) / h
=3h+1h+1/1h
/h
=4+4
=8

Je ne comprends rien à ce que tu as fait.
Faisons les choses dans l'ordre !
J'appelle m le coefficient directeur. Je détaille les calculs en gardant a jusqu'à la fin (mais on peut le remplacer tout de suite par 1)
$f(x)=3+\dfrac 1 x$ d'où $f'(x)=-\dfrac{1}{x^2}$ et $m=f'(a)=-\dfrac{1}{a^2}$
L'équation générale de toute tangente au point d'abscisse $a \in \mathbb R$ à la la courbe représentative d'une fonction f s'écrit (c'est dans ton cours) :
$y-f(a)=m(x-a)$
Ici :
$y-\left(3+\dfrac 1 a\right)=-\dfrac{1}{a^2}(x-a)$
Soit :
$y-3-\dfrac 1 a=-\dfrac{1}{a^2}x+\dfrac 1 a$
Et :
$ y= 3+\dfrac 1 a-\dfrac{1}{a^2}x+\dfrac 1 a$

$y=-\dfrac{1}{a^2}x+3+\dfrac 2 a$
Et avec a=1 :
$y=-x+3+2$ qui donne $y = -x+5$

Je te laisse faire les autres et reviens montrer tes résultats...
Mais peut-être ne connais-tu pas les formules de calcul des dérivées ?
Par exemple :
* k étant un réel quelconque : $(k)'=0$, $(x)'=1$, $(kx)'=k$

* $\left(\dfrac 1 x\right)'=-\dfrac{1}{x^2}$, $(x^n)'=nx^{n-1}$

* $(\sqrt x)'=\dfrac{1}{2\sqrt x}$
Dans ce cas, que sais-tu de la tangente à une courbe en un point d'abscisse a et de son équation ?

@+

[EDIT]Hum... J'ai l'impression que ce que tu sais se résume effectivement à

$m=\lim\limits_{h\to 0} \dfrac{f(a+h)-f(a)}{h}$

$\dfrac{f(a+h)-f(a)}{h}=\dfrac{3+\dfrac{1}{a+h}-3-\dfrac 1 a}{h}=\dfrac{\dfrac{a}{a(a+h)}-\dfrac{a+h}{a(a+h)}}{h}=\dfrac{\dfrac{-h}{a(a+h)}}{h}=\dfrac{-1}{a(a+h)}$

Et donc $m=\lim\limits_{h\to 0} \dfrac{f(a+h)-f(a)}{h}=\lim\limits_{h\to 0} \;\dfrac{-1}{a(a+h)}=\dfrac{-1}{a^2}$

Que signifient tous ces calculs ?
On prend sur la courbe deux points A et B de coordonnées $A(a\,;\,f(a))$  et  $B(a+h\,;\,f(a+h))$
On a donc une droite (AB) qui est sécante à la courbe.
Ensuite, tout en restant sur la courbe, on fait tendre B vers A (on rapproche de plus en plus B de A jusqu'à le point B soit positionné sur A.
Donc on a fait tendre h vers 0.
Et la sécante (AB) est devenue la tangente en A à la courbe. D'accord ?

Tu sais quand même que $\dfrac{y_B-y_A}{x_B-x_A}$ est le coefficient directeur de la droite (AB).
Avec les notations utilisées ce coefficient directeur est : $\dfrac{f(a+h)-f(a)}{h}$

Et donc le coefficient directeur de la tangente à la courbe de f n'est autre que la limite du quotient$ \dfrac{f(a+h)-f(a)}{h}$ lorsque h tend vers 0.
J'ai calculé et simplifié ce quotient et j'ai obtenu $\dfrac{-1}{a(a+h)}$, expression qui tend vers $\dfrac{-1}{a^2}$ lorsque h tend vers 0.
Et donc le coefficient directeur de la tangente au point A d'abscisse A à la courbe est $\dfrac{-1}{a^2}$
Et si a vaut 1, le coefficient directeur lui vaut $\dfrac{-1}{1^2}$ = -1...

Ceci expliqué, il est bien clair qu'on ne va perdre du temps à refaire sans arrêt ce type de calcul ! On a donc créé une liste de formules (les as-tu déjà vues ?) qui permettent d'arriver à obtenir presque tout de suite ce coefficient directeur, c'est le calcul de la dérivée de la fonction..

Dernière modification par yoshi (06-10-2022 16:46:06)

yoshi

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Re : equation reduite de tangente

Bonjour,

Parfois, je me demande pourquoi je perd mon temps...

Petite recherche et j'obtiens : https://nosdevoirs.fr/devoir/5146425#
Pas très réactif(ive) non plus...

@+

Dernière modification par yoshi (09-10-2022 09:58:57)