Inégalité de Tchébytchève [Résolu]

momo08 · 25-05-2008 14:24:52

Bonjour,
je demande de l'aide pour la demonstration de l'inégalité de Tchébytchève que voici:
Soient Ui et Vi (1<i<n) tel que U1>U2>...>Un et V1>V2>.....>Vn et
( U1+U2+......+Un)/n x(V1+V2+.....Vn)/n < (U1V1+U2V2+.....UnVn)/n
j'ai utilisé une démonstration par réccurence sur n, a l'ordre initiale je me suis arrèté a l'ordre n=2,mais je n'arrive pas a démontré a l'ordre n+1.Est ce que j'avais besoin de passer par la réccurence?n y'a t-il pas une méthode plus simple de faire cette démonstration.Au faite les inégalités ne sont pas strictes

tibo · 26-05-2008 22:20:31

Bonjour,

ton inégalité me semble bizare
J'ai fait une recherche sur l'inégalité de Tchebychev et tout ce que j'ai trouvé c'est une formule de proba, ce qui ne ressemble pas à ta formule.

De plus tu as écris:
[tex]\forall (U_1,...,U_n,V_1,...,V_n)tel\;que\begin{Bmatrix}U_1>...>U_n \\ V_1>...>V_n\end{cases}[/tex]

[tex]\frac{U_1+...+U_n}{n}\times \frac{V_1+...+V_n}{n}<\frac{U_1V_1+...+U_nV_n}{n}[/tex]

Est-ce vraiment ça?

En attendant, je cherche quand même une démonstration

Dernière modification par tibo95640 (26-05-2008 22:31:06)

momo08 · 27-05-2008 22:07:35

bonjour,
C'est bien mon inégalité.
merci d'avance pour la démonstration

Barbichu · 28-05-2008 13:50:30

Hello,
pour l'étape de réccurence :
[tex]\sum_1^n U_k \sum_1^n V_k = (U_n +\sum_1^{n-1} U_k)(V_n +\sum_1^{n-1} V_k)[/tex]
[tex]= U_n V_n + U_n \sum_1^{n-1} V_k + V_n \sum_1^{n-1} U_k + \sum_1^{n-1} V_k \sum_1^{n-1} U_k[/tex]
[tex]\leq U_n V_n + U_n \sum_1^{n-1} V_k + V_n \sum_1^{n-1} U_k + (n-1) \sum_1^{n-1} V_k U_k[/tex] (par H.R.)
[tex]= U_n V_n + \sum_1^{n-1} U_k V_k + \sum_1^{n-1} (U_n V_k + U_k V_n - U_k V_k) + (n-1) \sum_1^{n-1} V_k U_k[/tex]
[tex]= U_n V_n + \sum_1^{n-1} (U_n V_k + U_k V_n - U_k V_k) + n \sum_1^{n-1} V_k U_k[/tex] (1)

Mais [tex]U_n V_n - (U_n V_k + U_k V_n - U_k V_k) = U_n V_n - U_n V_k - U_k V_n + U_k V_k[/tex]
[tex]= U_n (V_n - V_k) - U_k (V_n - V_k)[/tex]
[tex]= (U_n - U_k) (V_n - V_k)[/tex]
[tex]\geq 0[/tex] (car [tex]U_k \leq U_n[/tex] et [tex]V_k \leq V_n[/tex])
Donc [tex]U_n V_k + U_k V_n - U_k V_k \leq U_n V_n[/tex]
et [tex]\sum_1^{n-1} (U_n V_k + U_k V_n - U_k V_k) \leq (n-1) U_n V_n[/tex]

Pour conclure, on utilise le résultat ci-dessus dans (1), ce qui donne
[tex]U_n V_n + \sum_1^{n-1} (U_n V_k + U_k V_n - U_k V_k) + n \sum_1^{n-1} V_k U_k \leq n U_n V_n + n \sum_1^{n-1} V_k U_k [/tex]
ie [tex]\leq n \sum_1^n V_k U_k[/tex]

Et au final [tex]\sum_1^n U_k \sum_1^n V_k\leq n \sum_1^n V_k U_k[/tex]
Ou encore [tex]\frac{\sum_1^n U_k}{n} \frac{\sum_1^n V_k}{n} \leq \frac{\sum_1^n V_k U_k}{n}[/tex]

++

Dernière modification par Barbichu (28-05-2008 13:50:43)

momo08 · 29-05-2008 22:54:21

Bonsoir,
Merci pour la réccurence.mais si ce n'est pas trop demander,est ce qu'il n'ya pas autre chemin que celle de la réccurence,genre une porte sécoure quoi?

Barbichu · 29-05-2008 23:49:54

Hello,
en effet, et ça marche sur le même principe :
[tex]\sum_{k=1}^n u_k \sum_{k=1}^n v_k \; = \; \sum_{k=1}^n u_k v_k + \sum\sum_{k\neq l} u_k v_l [/tex]
[tex] =\; \sum_{k=1}^n u_k v_k + \sum\sum_{k<l} (u_k v_l + u_l v_k)[/tex]
[tex] =\; \sum_{k=1}^n u_k v_k + \sum\sum_{k<l} (u_k v_k + u_l v_l) + \sum\sum_{k<l} (u_k v_l + u_l v_k -(u_k v_k + u_l v_l))[/tex] (0)

Mais
1/ [tex]u_k v_l + u_l v_k - (u_k v_k + u_l v_l)\; =\; (u_k - u_l)(v_l - v_k) \leq 0[/tex] car les [tex]u_i[/tex] et [tex]v_i[/tex] sont classés dans le même ordre.

Donc [tex]\sum\sum_{k<l} u_k v_l + u_l v_k - (u_k v_k + u_l v_l)\;\leq\; 0[/tex] (1)

2/ [tex]\sum\sum_{k<l} (u_k v_k + u_l v_l)\; =\; \sum\sum_{k\neq l} u_k v_k[/tex]
[tex] =\; \sum_{k=1}^n \sum_{l\neq k} u_k v_k[/tex]
[tex] =\; \sum_{k=1}^n (n-1) u_k v_k[/tex]
[tex] =\; (n-1) \sum_{k=1}^n u_k v_k[/tex] (2)

Donc en combinant (0) (1) et (2), on a finalement :
[tex]\sum_{k=1}^n u_k \sum_{k=1}^n v_k \;\leq\; n \sum_{k=1}^n u_k v_k[/tex] CQFD
++

Dernière modification par Barbichu (29-05-2008 23:50:18)

john · 30-05-2008 10:40:29

Salut à tous,
Pour répondre en partie à la question fort judicieuse de momo08...
L'interprétation vectorielle de cette inégalité, la rend évidente. Mais le problème reste que les évidences sont souvent difficiles à démontrer.
Ici, il "suffirait" de démontrer que le produit scalaire de 2 vecteurs de composantes données (en ordre quelconque) est maximum lorsque ces composantes sont classées dans le même ordre pour les 2 vecteurs. Comme la norme de chaque vecteur est constante, on peut dire aussi que l'angle entre les 2 vecteurs est minimum. Pour la démo., jusqu'alors, je suis sec !
A+

Je voulais dire démo. globale c-à-d vectorielle.
Après réflexion, il me semble impossible d'exploiter une propriété des composantes (celle d'être ordonnées) sans passer par les composantes (démo. de Barbichu). Donc on oublie...
A+

Dernière modification par john (31-05-2008 09:38:59)

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Inégalité de Tchébytchève [Résolu]

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