Forum de mathématiques - Bibm@th.net

NonooStar

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Construire les nombres algébriques à l'équerre et au compas ??

Bonjour à tous,
c'est une question que je me suis posé récemment. Est-ce que tous les nombres algébriques sont "constructibles" (le terme est sans doute mal choisi) avec des instruments de géométrie usuels ??
Les transcendants ne sont pas constructibles, certains algébriques le sont aisément, donc je me demandais si pour chaque algébrique, on peut trouver une méthode de construction.

Si quelqu'un a une idée (voire une solution quelque part), je suis preneur.

Barbichu

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Re : Construire les nombres algébriques à l'équerre et au compas ??

Salut.
Bonne question ! Il s'agit d'un bel exemple de la théorie des extensions de corps.
Les nombres constructibles à la règle et au compas sont algébriques de degré 2^k pour tout k entier naturel. (Je suis volontairement vague). (edit : mais tous les algébriques de degré 2^k ne sont pas nécessairement constructibles !)
Heuristiquement c'est parce que cercle et droite admettent une équation de degré 1 ou 2. (Je suis volontairement vague aussi)

Pour plus de détails, on trouve une caractérisation bien précise ici :
http://www.dma.ens.fr/culturemath/maths … tibles.pdf   Paragraphe 2.3, Théorème 2.5
Enjoy !
++

PS : Il me semble fortement qu'on peut en déduire l'impossibilité de la trisection de l'angle à la règle et au compas.

Dernière modification par Barbichu (19-12-2007 02:14:19)

yoshi

Modo Ferox

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Re : Construire les nombres algébriques à l'équerre et au compas ??

Salut,

PS : Il me semble fortement qu'on peut en déduire l'impossibilité de la trisection de l'angle à la règle et au compas.

Il se trouve que Geolabo, oeuvre de Fred, s'est vu adjoindre une macro lui permettant de construire les trissectrices d'un angle.

Qu'est-ce que ça t'inspire comme réflexion(s) ?

@+

Bou

Invité

Re : Construire les nombres algébriques à l'équerre et au compas ??

Cela n'a rien à voir.

yoshi

Modo Ferox

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Re : Construire les nombres algébriques à l'équerre et au compas ??

Bonjour,

Je n'ai pas pris parti. C'est un "simple" (et faussement candide) questionnement...
@ Bou : comme l'écrivait ce bon M. de La Fontaine, << Mais encor ? >>. Ta réponse à l'emporte pièce ne fait pas avancer le schmilblick....

@+

Dernière modification par yoshi (19-12-2007 13:03:09)

Barbichu

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Re : Construire les nombres algébriques à l'équerre et au compas ??

Hello,
Ca veut simplement dire que GéoLabo ne se limite pas à la construction à la règle et au compas, il est plus puissant que ça (d'ailleurs il trace des courbes à partir de leur équation si j'ai bien compris).
Je n'ai pas dit qu'il était impossible de la réaliser. Juste qu'il était impossible de la réaliser à l'aide ces deux instruments uniquement et sans artifices supplémentaires ( comme un pliage de feuille, cf : http://fr.wikipedia.org/wiki/Trisection_de_l'angle )
De manière théorique c'est bien évidement possible : on sait faire une division par 3. Et géolabo doit sûrement utiliser une approximation de cette valeur théorique au moment de l'afficher.

Ce n'est pas comme si géolabo pouvait me donner une expression exacte des solutions de n'importe quelle équation polynomiale de degré 5 ou plus ^^

Où voulais-tu en venir yoshi ?
++

Dernière modification par Barbichu (19-12-2007 13:59:12)

NonooStar

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Re : Construire les nombres algébriques à l'équerre et au compas ??

Merci beaucoup...
J'ai pas encore regardé ça en détail, mais ça a l'air de répondre à ma question. :)

JJ

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Re : Construire les nombres algébriques à l'équerre et au compas ??

Attention, dès que l'on parle de trissection sur un forum, cela attire les "trols trissecteurs" comme des mouches sur une m.... Voir par exemple :
http://les-mathematiques.u-strasbg.fr/p … msg-410762

Mohwali Awamar

Invité

Re : Construire les nombres algébriques à l'équerre et au compas ??

Bonjour à tous,
c'est une question que je me suis posé récemment. Est-ce que tous les nombres algébriques sont "constructibles" (le terme est sans doute mal choisi) avec des instruments de géométrie usuels ??
Les transcendants ne sont pas constructibles, certains algébriques le sont aisément, donc je me demandais si pour chaque algébrique, on peut trouver une méthode de construction.

Si quelqu'un a une idée (voire une solution quelque part), je suis preneur.

"La règle et le Compas : Deux Outils Contradictoires!"

Comment, la règle et le compas -deux outils incompatibles par excellence -  peuvent ils concourir à la construction d un nombre algébrique ?Voilà que je ne puis comprendre.
Mohwali Awamar.