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user1992

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Suite récurrente et estimation asymptotique

Bonjour,

Je cherche un équivalent de la suite récurrente définie par $x_{n+1} = x_n + \dfrac{1}{x_n}$ avec $x_0 >0.$ Je me suis inspiré d'une technique qui consiste à associer à la suite $(x_n) $ la suite $(x_{n+1} - x_n),$ analogue discret pour les suites de la dérivation des fonctions.

Sur l'exemple $u_{n+1} = \sin u_n,$ cela donne $u_{n+1} - u_n = -\dfrac{u_n^3}{6},$ soit $f^{\prime} = -\dfrac{f^3}{6}$ et dont les solutions vérifient $\left( \dfrac{1}{f^{2}}\right)^\prime = \dfrac{1}{3}.$

Appliqué à la suite $(x_n)$ : $$x_{n+1} - x_n = \dfrac{1}{x_n}.$$ et qui correspond à l'équation différentielle $$f^{\prime} =  \dfrac{1}{f}.(*)$$

Je cherche les solutions qui vérifient l'équation différentielle.$(*)$

On voit bien que si $f(x) = 2\sqrt{x}$ ça marche mais je peine à trouver un ensemble de solutions où $f$ n'est pas explicité.

J'ai tenté des choses mais sans succès.

Auriez vous des suggestions ?

User.

Dernière modification par user1992 (25-09-2022 10:08:29)

Zebulor

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Re : Suite récurrente et estimation asymptotique

Bonsoir,

$$f^{\prime} =  \dfrac{1}{f}.(*)$$

Je cherche les solutions qui vérifient l'équation différentielle.(*)

tu peux aussi l"écrire sous la forme $f(x)f'(x)=1$, puis multiplier par 2 membre à membre pour reconnaître la dérivée d'une fonction dans le membre de gauche

On voit bien que si $f(x) = 2\sqrt{x}$ ça marche

Est ce tu ne pensais plutôt à $f(x) = \sqrt{2x}$ ?

Dernière modification par Zebulor (24-09-2022 21:18:45)

user1992

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Re : Suite récurrente et estimation asymptotique

Bonjour,

tu peux aussi l"écrire sous la forme $f(x)f'(x)=1$, puis multiplier par 2 membre à membre pour reconnaître la dérivée d'une fonction dans le membre de gauche

$$2f(x)f^{\prime}(x)= \left(f^{2}(x)\right)^{\prime} = 2. $$

Merci !