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rareStrophe

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Constructions d'entiers

Bonjour à vous !

Je suis un assez grand fan de la collection Arnaudies-Fraysse cependant un exercice m'a toujours échappé:

Un ensemble $\mathrm{E}$ quelconque est toujours « élément » d'un autre ensemble (cf. règle 3). Appliquer cette remarque et la règle 1 à la construction des entiers.

Indications: on pose $0=\emptyset$, $1=\{\emptyset\}$, $2=\{0,1\}$, $3=\{0,1,2\}$, etc. Remarquez que dans cette façon d'envisager les entiers  naturels la relation d'ordre naturel strict, notée habituellement $<$, est la relation d'appartenance : $(x<y)\iff (x\in y)$.

Règle 1:
Il existe un ensemble $\mathrm{E}$, et un seul, dont les éléments sont exactement les objets $a_1,a_2,\dots,a_n$.

Règle 3:
Soit $\mathrm{E}$ un ensemble ; il existe un, et un seul, ensemble $\mathcal{F}$ tel que $(\forall X) (X\in\mathcal{F})\iff (X\subset \mathrm{E})$.

Comment est-ce possible de résoudre cet exercice avec uniquement les informations qui précèdent dans le livre ? Ou bien avec les informations disponibles dans la collection ? Est-ce seulement possible ? En effet, je vois comment résoudre cet exercice à l'aide de la théorie des ensembles et plus particulièrement des ordinaux, tout ça, tout ça, mais (peut-être que je suis un peu stupide et que je ne vois pas l'évidence : oui, je me doute que c'est sûrement le cas !) je me cogne la tête sur sa résolution depuis trois ans à l'aide du "peu" d'information disponible dans le cours de la collection.

Merci d'avance ! :)

Dernière modification par rareStrophe (25-08-2022 14:30:26)

bridgslam

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Re : Constructions d'entiers

Bonjour,

Vous pouvez démontrer par exemple que les objets créés existent dans l'univers ( du cadre de la théorie des ensembles classique) et que leur ensemble ( montrer aussi qu'il est dans l'univers, car la règle 1 s'applique pour une collection finie d'ensembles seulement) vérifie les axiomes de l'ensemble $\mathbb{N}$ pour son ordre naturel , donc lui est isomorphe, d'après le théorème d'isomporphisme.

Cordialement,
AR

bridgslam

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Re : Constructions d'entiers

Cependant la règle 3 dit plutôt que la collection des parties d'un ensemble est un ensemble, ce qui est l'axiome de l'ensemble des parties.

Pour moi, le préambule en clair est plutôt l'axiome de la paire: si a est un ensemble, le singleton {a,a} aussi, donc pour tout a de l'univers $a \in \{a\}$.

Il me semble difficile de montrer que la collection 0,1,2,... telle qu'elle est définie abstraitement est un ensemble, sans autre règle ou axiome supplémentaire.

Par-contre, si on admet que $\mathbb{N}$ est connu, on en a ici une représentation isomorphe.

A.

rareStrophe

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Re : Constructions d'entiers

Merci de te prendre la tête avec moi.

Il me semble que ça peut être une bonne idée de joindre toutes les pages de la section correspondante donc les voici.

En espérant que tu trouves l'évidence qui m'échappe ! :)

bridgslam

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Re : Constructions d'entiers

Re-bonjour,

Pour moi l'ambiguïté de l'énoncé provient du fait qu'on a l'impression qu'on demande de construire seulement les ensembles 0,1,...,
ie qu'ils sont dans l'univers.
On ne peut pas prouver avec seulement ces deux règles que cette partie (au sens intuitif) de l'univers U constitue un ensemble.

En effet, dans ce cas, l'axiome "il existe un ensemble inductif" (ou l'équivalent avec les ordinaux, de mémoire je dirais il existe un ordinal non fini ) serait inutile dans la théorie ZFC habituelle.
Je pense que le problème tel qu'il est formulé consiste à observer que les ensembles ainsi créés avec entre eux la relation d'appartenance ont les propriétés des entiers avec leur ordre strict.
Ce n'est pas contradictoire puisque la relation d'appartenance entre ensembles de l'univers est posée sans que leur globalité en soit un.

A.

rareStrophe

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Re : Constructions d'entiers

Il me semble assez évident que cet exercice cherche à nous faire construire l'ensemble $\mathbf{N}$ comme un ordinal : .
Pour autant je ne comprends pas trop comment résoudre cet exercice sans, justement, faire appel à la notion d'ordinal ainsi qu'à l'axiome de l'infini qui dans un sens le rendrait trivial avec une simple récurrence. Tu as alors raison de parler d'ordinal non fini étant donné que $\mathbf{N}$ est défini dans ZFC comme étant l'ensemble de tous les ordinaux finis.

Quoi qu'il en soit, je ne comprends vraiment pas où les auteurs souhaitaient en venir avec cet exercice. Soit ils voulaient qu'on lise un cours sur la théorie des ensembles, auquel cas l'exercice devient trivial ; soient ils voulaient qu'on se contente de leur cours, auquel cas l'exercice semble juste infaisable étant donné que les règles et propriétés énoncées ne semblent pas réellement porter leurs fruits.
J'imagine que dans ce second cas il existe peut-être une subtilité qui m'échappe. J'avoue ne pas voir laquelle. Peut-être que je cherche depuis trop longtemps sans trouver la réponse et que je suis simplement trop à bout pour voir l'évidence... c'est fort probable.

Dernière modification par rareStrophe (10-09-2022 13:22:42)

bridgslam

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Re : Constructions d'entiers

Bonsoir,

Là où le bât blesse, c'est que votre écriture $ \mathbb{N} $ = { ... } suppose que la collection considérée est un ensemble.
C'est bien là-dessus qu'à mon sens les règles fournies sont insuffisantes.
L'énoncé en soi n'est d'ailleurs pas limpide. Que montrer exactement ?

Il faut l'axiome de l'infini, ou équivalent, pour pouvoir faire le tour du sujet rigoureusement.

AR

rareStrophe

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Re : Constructions d'entiers

Je ne saurais vous dire ce qui est attendu dans cet exercice... et encore moins ce qui est à montrer exactement. Tout ce qui me semble limpide c'est effectivement cette construction de $\mathbf{N}$ comme l'ensemble des ordinaux finis.

Toutefois, cet exercice ne me semble pas faisable en l'état. Comme dit, cela fait maintenant trois ans que j'essaie d'y répondre sans succès.

Il me semble aussi, en effet, que les règles et propriétés présentées dans ce cours soient insuffisantes, et que, sans l'axiome de l'infini il n'y a pas moyen d'y répondre.

Je n'aime pas particulièrement cela, mais je pense que je vais devoir abandonner l'espoir de résoudre cet exercice "dans les règles" (arbitraire que je me suis fixé : utiliser uniquement les quelques pages qui le précèdent) et me contenter d'utiliser l'artillerie lourde qu'est la théorie des ensembles ZFC... et alors, comme je l'ai indiqué dans mon précédant message, il me semble bien qu'avec l'axiome de l'infini et les ordinaux, il ne faudrait pas plus d'une récurrence pour résoudre cet exercice.

bridgslam

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Re : Constructions d'entiers

Bonsoir,

En effet la construction proposée suit exactement la successivité stricte des ordinaux finis, et leur collection complète est l'ordinal limite (donc en particulier un ensemble ) qui leur est juste supérieur, noté omega en général,  dont l'existence dans l'univers est un axiome de la théorie.

J'aime bien l'image de l'échelle dans les ordinaux, on peut toujours monter d'un échelon ( ordinal) , mais quand on descend, il n'y a parfois pas d'échelon juste sous le pied ( quand il est limite ).

Moi j'aime bien Fraysse-Arnaudiès de manière générale, mais je trouve quelques présentations/démonstrations parfois pas mal absconses sur certains sujets... voir par exemple la preuve du théorème d'Eudoxe sur l'unicité de $ \mathbb{R} $, complètement limpide dans d'autres ouvrages. La présentation des germes de fonctions est plus claire à mon avis aussi dans le Ramis.

Là en réfléchissant 2 secondes, on se demande déjà ce qu'ils souhaitent comme but à atteindre...

A.

Dernière modification par bridgslam (10-09-2022 17:29:19)