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Duareb

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Recherche de valeurs ...

bonjour,

Soit k, un entier strictement positif et le produit k*(k-16).
Il s'agit de trouver les valeurs de k pour lesquelles ce produit est un carré. Si on élimine la valeur triviale k=16, un petit programme informatique donnent les valeurs k=18 et k=25.
Comment démontrer que ce sont les seules solutions ? Et même comment trouver sans programme informatique ces 2 valeurs ?
Le problème peut être généralisé de la façon suivante :
Soit a un entier naturel positif. Pour quelles valeurs de k, entier naturel positif, le produit k*(k-a) est-il un carré ?

Cordialement
Duareb

Fred

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Re : Recherche de valeurs ...

Bonjour,

  Voici une méthode possible, sans doute pas optimale. Il est clair que $k>n$, et donc on peut écrire $k=n+p$ avec $p\geq 1$.
Mais alors, l'équation s'écrit $k^2-n^2=16k\iff 2pn+p^2=16p+16n$. Si $p\geq 16$, le membre de gauche est strictement plus grand que le membre de droite puisque $p^2\geq 16p$ et que $2pn> 16n$. On doit donc avoir $p=1,2,\dots,15$. Il suffit d'étudier ensuite chaque cas pour voir si on obtient une solution.

Par exemple, pour $p=1$, $(n+1)^2-n^2=16(n+1)\iff 2n+1=16n+16$ et on trouve une valeur non entière pour $n$...
Pour $p=2$, $(n+2)^2-n^2=16(n+2)\iff 4n+4=16n+32$ et on trouve une valeur non entière pour $n$...

Pour $p=10$, $(n+10)^2-n^2=16(n+10)\iff 20n +100=16n+160$ donne la solution $n=15$ et $k=25$.

F.

Duareb

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Re : Recherche de valeurs ...

Merci pour cette solution qui a le mérite d'une part de retrouver les valeurs proposées par le programme et d'autre part de prouver qu'il n'y a pas d'autre solution ! Car nécessairement il faut bien limiter (en force brute) la routine en fixant un limite supérieure...