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- Contributions : Récentes | Sans réponse
#1 12-08-2022 07:44:43
- Vincent62
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- Messages : 314
Espace topologique séparé et limite de suite
Bonjour,
J'essaye de démontrer la proposition suivante.
Soit [tex](E,T)[/tex] un espace topologique séparé. Soit [tex](x_n)[/tex] une suite d'éléments de [tex]E[/tex].
Si [tex](x_n)[/tex] converge, alors [tex](x_n)[/tex] admet une seule valeur d'adhérence, qui est sa limite.
Voici ce que je propose.
Soient [tex]a,b[/tex] deux valeurs d’adhérence de la suite [tex](x_n)[/tex] d'une suite d'éléments de [tex]E[/tex] convergeant vers [tex]L[/tex]. Alors, pour tous ouverts [tex]U_a[/tex] et [tex]U_b[/tex] de [tex]E[/tex] contenant respectivement [tex]a[/tex] et [tex]b[/tex], [tex]U_a[/tex] et [tex]U_b[/tex] contiennent une infinité d’éléments de la suite [tex](x_n)[/tex].
Ainsi, [tex]U_a\cap U_b\neq \emptyset[/tex] et puisque [tex]E[/tex] est séparé, alors [tex]a=b[/tex].
Reste à montrer que [tex]a=L[/tex].
Supposons que [tex]a\neq L[/tex]. Puisque [tex](x_n)[/tex] converge vers [tex]L[/tex], alors pour tout voisinage [tex]V_L[/tex] de [tex]L[/tex] dans [tex]E[/tex], il existe [tex]N_{V_L}[/tex] tel que [tex]n\ge N_{V_L}[/tex] implique [tex]x_n\in V_L[/tex]. De même, puisque [tex]a[/tex] est une valeur d'adhérence de la suite [tex](x_n)[/tex], alors il existe une suite extraite [tex](x_{\varphi(n)})[/tex] avec [tex]\varphi :N\to N[/tex] strictement croissante telle que pour tout voisinage [tex]V_a[/tex] de [tex]a[/tex] dans [tex]E[/tex], il existe [tex]N_{V_a}[/tex] tel que [tex]n\ge N_{V_a}[/tex] implique [tex]x_{\varphi(n)}\in V_a[/tex].
Or, pour tout [tex]n[/tex], [tex]\varphi(n)\ge n[/tex] et donc [tex]x_{\varphi(n)}\in V_L[/tex] pour tout [tex]n\ge N_{V_L}[/tex], et donc [tex]V_a\cap V_L\neq \emptyset[/tex], contradictoire puisque [tex]a\neq L[/tex] et [tex]X[/tex] séparé.
Qu'en pensez-vous ?
Merci !
Dernière modification par Vincent62 (12-08-2022 10:53:21)
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#6 12-08-2022 12:32:03
- Vincent62
- Membre
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- Messages : 314
Re : Espace topologique séparé et limite de suite
Deux choses sur lesquelles je bute.
1) Ce résultat permet-il d'en conclure directement que dans un espace topologique séparé, la limite d'une suite convergente est unique ?
On sait que si une suite d'éléments de X, espace topoogique séparé, converge, alors cette admet une unique valeur d'adhérence. Puisque la limite est toujours une valeur d'adhérence, on en déduit que cette limite est unique.
2) Est-ce que la réciproque de cette proposition (celle du premier post) est fausse ?
Il me semble que oui, mais je ne parviens pas à exhiber un contre-exemple.
Soit [tex]X[/tex] un espace séparé.
Il faut donc partir d'une suite [tex](x_n)[/tex] d'éléments de [tex]X[/tex] qui n'admet qu'une seule valeur d'adhérence, et montrer que dans ce cas, [tex](x_n)[/tex] ne converge pas toujours.
Dans le cas où [tex]X[/tex] n'est pas séparé, je sais que la limite n'est pas forcément unique. C'est le cas par exemple si [tex]X[/tex] non séparé est muni de la topologie grossière. Est-ce que cela peut servir ?
Merci
Dernière modification par Vincent62 (12-08-2022 14:09:06)
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#7 12-08-2022 16:29:25
- Fred
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- Messages : 7 352
Re : Espace topologique séparé et limite de suite
Re-
1). Je suis d'accord!
2). Je ne suis pas sûr de comprendre ce que tu veux dire, mais la suite $(u_n)$ de $\mathbb R$ avec $u_{2n}=0$ et $u_{2n+1}=n$ admet $0$ pour unique valeur d'adhérence, mais n'est pas convergente!
F.
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#9 16-08-2022 09:27:52
- Eust_4che
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- Messages : 185
Re : Espace topologique séparé et limite de suite
Bonjour à tous,
Je me permet de donner un contre exemple à la réciproque : il existe des espaces non séparés dans lesquels la limite de toute suite est unique. L'espace topologique $\mathbb{R}$ pour la topologie co-dénombrable n'est pas séparé, mais une suite qui converge étant nécessairement constante à partir d'un certain rang, sa limite est unique.
D'ailleurs, l'équivalence entre unicité des valeurs d'adhérence d'une suite et convergence de celle-ci est vrai dans les espaces compacts, mais fausse en général (si l'espace n'est pas séparé).
Bien à vous deux,
E.
Dernière modification par Eust_4che (16-08-2022 09:31:28)
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