Conversion décimal↔binaire,octal,hexadécimal...

rareStrophe · 27-07-2022 12:38:01

Bonjour, au cours de ces vacances d'été je m'intéresse pas mal à l'enseignement des mathématiques et son "histoire", notamment primaire et collège. L'enseignement d'une notion en particulier semble ne plus avoir beaucoup de ressources facilement disponibles et ça me pose quelques soucis : la numération (qu'elle soit binaire, octale, hexadécimale, que sais-je).

J'ai cru comprendre en arpentant le net que la notion de numération en bases $b\in\mathbf{N}$ était enseignée dès le primaire et revue en Sixième à une certaine époque. J'aurais donc deux-trois questions à ce sujet (j'imagine, en particulier aux personnes qui étaient en primaire à cette époque):

Comment les enfants apprenaient à compter dans ces bases ?
Comment étaient réalisées les conversions décimales ↔ bases $b$ avec les opérations qui étaient alors disponibles ?
1. Utilisait-on des tables de position ?
2. Utilisait-on des divisions ?
3. Les puissances entières étaient-elles déjà connus ? ($217_{(7)}=7\times 7^0+1\times 7^1+2\times 7^2=7+7+98=112_{(10)}$)
4. Quelles étaient alors les "méthodes" pour réaliser ces conversions ?
Quelles étaient les difficultés rencontrées ?

yoshi · 27-07-2022 17:29:12

Bonjour,

Je dois reconnaître que je n'ai pas souvenir de l'enseignement des bases de numérations- de façon officielle - tant en primaire qu'en 6e et au delà... Ça me reviendra peut-être.

En tout état de cause , ceci est faux, impossible :
$217_{(7)}=7\times 7^0+1\times 7^1+2\times 7^2=7+7+98=112_{(10)}$
En base sept, il est fait usage de sept chiffres : $\{0, 1,2,3,4,5,6\}$ mais le chiffre 7 n'y existe pas :
0, 1, 2, 3, 4, 5, 6... et après ? Mais 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 20, 21...
De même en base dix, on dénombre 10 chiffres : $\{0, 1,2,3,4,5,6,7,8,9\}$...
Pourtant, vous m'objecterez peut-être qu'en base dix, figure bien 10...
Certes, mais 10 est un nombre (à deux chiffres) et non un chiffre...
Les chiffres de la base dix sont par définition les dix symboles (les petits dessin) utilisés pour écrire les dix premiers chiffres (et dix premiers nombres entiers)...
Mais alors, et la base seize ?
Bonne question, puisqu'on ne connait que dix chiffres...
Au lieu d'en inventer d'autres, on utilise A, B, C, D, E, F
#2CEF c'est $16^3 \times 2+16^2\times 12+16 \times 14 + 15 = 11503$ en base dix.

En primaire, on pouvait utiliser des "blocs logiques' ou élastiques et buchettes...
Les "blocs logiques" c'étaient des cubes qui pouvaient s'emboîter sur chacune de leur 6 faces...
On en faisait des barrettes, puis les barrettes pouvaient être rassemblées en plaques carrées, les plaques en gros cubes, les gros cubes en grosses barrettes, les grosses barrettes en grosses plaques, les grosses plaques en supercubes etc..
Les buchettes c'était moins pratique.

Mettons conversion d'un nombre en base trois en partant de 35 en base dix.
On dépose 34 buchettes sur la table, on les groupe par 3 et entoure chaque groupe d'un élastique (disons vert), l'idéal était d'avoir des élastiques de couleurs différentes.
On met de côté les buchettes restées seules (ou les cubes) : ici 1... à droitre de la table et on complètte de droite à gauche
On regroupe les paquets avec élastique vert, et chaque paquet de 3 verts était entouré d'un élastique (disons rouge) et on met de côté les paquets à élastique vert restés seuls...ici 2
On rassemble les paquets à élastique rouge par groupes de 3 et on entoure chacun d'un élastique (disons bleu).
Tiens aucun paquet à élastique rouge resté seul, on ne met rien de côté mais on laisse un espace.
J'ai un paquet bleu et je n'ai plus rien à trier, je mets mon paquet bleu à droite...
En passant aux chiffres, j'ai 1021 et on n'a pas parlé de puissances.

N-B : j'ai toujours regretté que l'on ait évacué les notions de multiplicande et de multiplicateur (en gardant pourtant les noms de Dividende et diviseur).
Ainsi, j'écris toujours :
$16^3 \times 2+16^2\times 12+16 \times 14 + 15 = 11503$
et non pas :
$2 \times 16^3+12\times 16^2 +14\times16 + 15 = 11503$
Pourquoi ?
Il y a 2 groupes de $16^3$ et non $16^3$ groupes de 2

Certes la multiplication étant commutative le résultat sera le même, mais je suis un vieux machin et c'est quelque chose qui date du temps de ma primaire et à quoi je tiens et ai tenu tout au long de mes 38 ans de carrière (37,5 en fait)...

@+

rareStrophe · 27-07-2022 17:58:50

En effet, tu as totalement raison ! Je comptais écrire $216_{(7)}$ mais j'ai tapé $217$... et j'ai été assez idiot pour ne pas m'en rendre compte... je me sens ridicule. Tant pis, ça arrive.

Pour ce qui est de la numération, j'ai notamment pu voir ça dans un livre de sixième. Il me semble que ce livre datait des années 60 ou peut-être 70. Grosso modo, ça utilisait la notion de tables de positions. Exactement comme dans ton exemple des blocs logiques. Merci d'ailleurs pour ce petit rappel qui m'a permis de fixer certains trucs que j'avais mal compris jusque-là !

Je me souviens aussi qu'il y avait des exercices de conversions de différentes bases vers la base décimale et de la base décimale vers différentes bases mais à aucun moment dans le cours qui se trouvait dans ce livre il n'y avait d'explication sur comment réaliser ces conversions. Voila pourquoi je me suis demandé comment ces conversions étaient effectuées à cette époque par les élèves. Je veux dire par là, les élèves n'avaient pas accès à la notion de puissances entières, non ? Donc il était impossible de leur faire écrire $16^3 \times 2+16^2\times 12+16 \times 14 + 15 = 11503$ ? Dans ce cas, comment se passait la conversion d'une base $b$ vers la base décimale ?

J'aimerais bien en apprendre plus sur les multiplicande et multiplicateur, si le cœur t'en dis !

Dernière modification par rareStrophe (27-07-2022 18:19:52)

yoshi · 27-07-2022 21:29:00

Bonsoir,

En effet, tu as totalement raison ! Je comptais écrire 216(7) mais j'ai tapé 217... et j'ai été assez idiot pour ne pas m'en rendre compte... je me sens ridicule. Tant pis, ça arrive.

Je crois que c'est Cédric Villani (il y a pire comme référence) qui a dit (il me semble) qu'il ne fallait pas croire que les mathématiciens ,e faisaient jamais d'erreurs de calcul et que lui par exemple, il en faisait....
Dans ton cas, il n'y a pas d'erreur de calcul mais faute de frappe...
Pour en minimiser le nombre et/ou leur fréquence, deux habitudes à prendre :
1. Utiliser le bouton Prévisualisation,
2. Se relire.

J'aimerais bien en apprendre plus sur les multiplicande et multiplicateur, si le cœur t'en dit !

Bof, pas grand chose à dire le multiplicande est à gauche du x c'est la quantité qui est multipliée, le multiplicateur c'est la quantité qui t multiplie : Tout est là, par définition
$5 \,\times$ $3$ $= \underbrace{5 + 5 + 5}_{\text{3 nombres égaux à 5}} $
et
$3 \,\times$ $5$ $ = \underbrace{3 + 3 + 3 + 3 + 3}_{\text{5 nombres égaux à 3}}$

Ainsi, pour moi, 3 groupes de 5 personnes, c'est 5 x 3...
Bon, tant qu'on reste sur des chiffres et qu'on passe pas au concret, alors l'ordre importe peu puisque 5 x 3 = 3 x 5

Cette méthode des paquets, des paquets de paquets, des paquets de paquets de paquets.... n'est rien d'autre que le principe commun à tous les systèmes de numération de position : en base b toute unité d'un ordre n quelconque vaut n unités de l'ordre immédiatement inférieur.
J'ai eu travaillé avec la base 6 en..., fait établir une table d'addition et de multiplication, donné des additions et des petites multiplications dans cette base (j'avais fini par devenir un peu borderline concernant le strict respect des programmes)...

Cela me permettait de faire le lien avec les mécanismes opératoires (dans la base dix) eux, au programme : il n'y aucune différence de technique... C'était aussi une façon détournée de leur faire toucher du doigt le pourquoi de l'apprentissage par cœur des "tables".
L'avantage de la base 6 et des opérations était de rendre les mômes plus réceptifs : c'était nouveau...
Mais ils étaient vite surpris de constater que bin non, il n'y avait rien de nouveau sous le soleil !

On s'aperçoit vite, même avec ceux qui maîtrisent la technique de la multiplication avec un multiplicateur à 2 chiffres, qu'ils savent comment mais pas pourquoi... Il suffit de questionner un peu pour qu'ils restent secs...
D'où l'intérêt de la base 6.
Au lieu de blocs logiques ou de buchettes, on peut (pouvait) aussi faire référence au totalisateur kilométrique des voitures (quand il est La confection de
En 6e, lorsqu'on est amené à utiliser addition et soustraction des nombres dits complexes ( h min s) il est utile d'avoir parlé de cette notion de base...

La technique des paquets, des paquets de paquets, des paquets de paquets de paquets... marche (marchait, j'oublie que je suis retraité) aussi en 3e quand ceux qui demandaient l'option ISI (je crois) en 2nde devait remplir un questionnaire où on leur demandait s'ils étaient familier avec la base 2...
Pour ne pas les faire mentir, j'avais rédigé un topo qu'ils devaient étudier...

@+

rareStrophe · 28-07-2022 13:19:32

Pour tout t'avouer, ce qui fait que je me sens d'autant plus ridicule, c'est justement le fait qu'il ne s’agisse pas d'une erreur de calcul mais qu'en plus, j'ai écrit la suite dudit calcul comme si de rien n'était... en persévérant dans mon idiotie sans qu'à aucun moment mon cerveau s'est dit que quelque chose clochait... bref.

Cette façon de voir la multiplication est pour moi assez étrange. En effet, dans ma tête il est plus "logique" de voir trois groupes de cinq personnes comme étant $3\times 5$. J'imagine que c'est une question d'apprentissage car évidemment je visualise bien cinq personnes de trois groupes comme étant $5\times 3$... Merci en tout cas pour cette petite explication !

Enfin, je te remercie pour tous ces éléments apportés, je comprends un peu mieux le pourquoi du comment de l'apprentissage de la numération en collège (et sans doute aussi pour le primaire). Néanmoins j'imagine que les élèves avaient un mal fou à réaliser des calculs dans différentes bases et j'imagine aussi que c'est pour ça que ça avait fini par disparaître des programmes. Quel est ton souvenir à ce propos en tant que professeur ?

rareStrophe · 28-07-2022 13:30:09

Je me souvenais avoir pris des photos de certaines pages du livre de sixième en question et après avoir cherché c'était effectivement le cas. Je n'ai malheureusement pas eu la présence d'esprit de noter ou prendre en photo les auteurs du livre. Je ne pourrais donc pas te dire de qui il s'agit. Toutefois, voici par exemple deux exercices qu'on pouvait y trouver dans le chapitre de numération:

Chez les araignées, qui ont huit pattes, on compte en base huit. Comment s'écrit huit dans ce système ?
Dressez la liste de tous les signes nécessaires pour écrire tous les nombres en base huit.
$37$ $70$ $106$ $120$ sont des nombres du système à base huit. Écrivez-les dans le système décimal.

Découpez des petits carrés de papiers de 1 cm de côté.
Combien faut-il juxtaposer au maximum de ces petits carrés pour former un autre carré ? Quelle est la longueur du côté de ce carré (faites la figure).
Combien faut-il juxtaposer au minimum de carrés de 2 cm de côté pour former un grand carré ? Quelle est la longueur du côté de ce grand carré ?
Montrer qu'une façon simple de compter un grand nombre de petits carrés est de faire des groupements par quatre.
Si $53$ est le nombre de petits carrés écrit en base dix, écrivez ce nombre en base quatre.

Si le deuxième exercice se réalise exactement comme tu l'as expliqué à coup de blocs logiques (qui sont ici des carrés), je trouve plus difficile de réaliser le premier. Je me demande donc bien comment un exercice tel que le premier pouvait être résolu en sixième.

Dernière modification par rareStrophe (28-07-2022 13:36:47)

yoshi · 28-07-2022 20:07:16

Bonjour,

J'ai ressorti mes derniers spécimens de manuels de 6e, programme de 2005. On n'y évoque pas la notion de base...
J'en ai relevé un dont les auteurs étaient d'un optimisme béat.Titre de leur premier chapitre : Nombres entiers et décimaux...

Exercice 1
Question 1. Ça aurait été l'occasion de revoir le groupement par paquets de 8, puis par paquets de 8 x 8 etc... et de se rappeler que pour écrire les nombres en base huit, on utilise les chiffres 0, 1, 2, 3, 4 ,5, 6, 7, et que 8 étoiles peuvent être regroupées en 1 paquet de 8 et 0 étoile toute seule, donc qu'après 7 viendrait le nombre 10...
J'aurais pris un nombre plus simple, par ex, 17 et
- j'aurais fait dire qu'il y avait 7 étoiles toutes seules et 1 paquet de 8
- j'aurais demandé d'ouvrir ce paquet de prendre les étoiles qu'il contient et de les poser à côté des 5 premières.
- j'aurais demandé : comment allez vous savoir combien d'étoiles on a tout...
* quelqu'un aurait sûrement proposer de les compter... J'aurais dit oui, et on trouve combien ?
* j'aurais rebondi en demandant qui avait une autre méthode plus rapide à proposer (j'aurais attendu : addition. 5+8 =13)

Puis j'aurais procédé de même avec 25.
Difficulté supplémentaire : 2 paquets de 8
On ouvre les 2 paquets. Combien on a-t-on d'étoiles en plus des 5 toutes seules. Si on me dit 8 + 8, je réponds oui...
Mais si j'écrivais 45 + 45 + 45 +45 + 45 + 45 + 45 vous faites aussi l'addition ? ou une autre opération ? (mais c'est anecdotique)

Nouvelle difficulté
Et on serait arrivé à 5+16=21

Et là on débouche sur 37 qu'on laisse faire seuls... On se déplace, on va voir ce qu'ils ont écrit : il y en aura toujours à qui rappeler que le 3 signifie qu'il y a 3 paquets de 8.
On corrige ensuite en s'adressant à tous et on écrit la correction au tableau qu'ils doivent noter sur leur cahier
On lance le calcul pour 70...

Selon comme on "sent" la classe, on peut questionner pour faire dire que le 0 signifie qu'il n'y a pas d'étoile seule...
C'est là qu'est intervenu le pape (et féru d'arithmétique) Gerbert d'Aurillac.
Ce n'est pas aussi évident que ça : le 0 a mis quand même un peu plus de 1000 ans pour apparaître...

Un bouquin que j'ai lu avidement (une mine d'informations, d'anecdotes) et que je recommande :
Histoire universelle des chiffres de Georges Ifrah (1981 !)
On le trouve encore ici :
https://livre.fnac.com/a18844/Georges-I … fret-2-vol proposé à 2,68 € +port
ou
https://www.amazon.fr/HISTOIRE-UNIVERSE … 2221502051
ils présentent aussi une version reliée (celle que j'ai) à 4,44 € +port (2,99 €) : 568 pages
Et bien d'autres présentations encore.
N-B : je n'ai pas de lien d'intérêt ni avec la Fnac ni avec Amazon ;-)

Nouvelle difficulté le 1 de 106.
C'est là que se trouve l'importance de commencer avec une petite base (2 ou 3 par exemple).
3 me plaît bien. On écrit par ex en base 3 : 122.
Ça permet d'insister lourdement sur la notion de regroupement par paquets qui est vraiment la clé.
J'écrirais :
1 2 2
___
| $\fbox{ }$ | $\fbox{ }$ * *
| $\fbox{ }$ | $\fbox{ }$
| $\fbox{ }$ |
----

Dans l'ordre, une grosse boîte (qui contient 3 petites boîtes), 2 petites boîtes et 2 étoiles seules...
On fait remplir les boîtes vides avec des étoiles, puis on dit qu'on les vide et qu'n pose toutes les étoiles sur la table...

Il y a d'autres pistes à explorer, ce sera pour demain...
En aucun cas en 6e, on ne se lance dans un cours magistral : on lace des activités qui permettent aux mômes de chercher, réfléchir, en dialogue constant, foisonnant qui doit leur donner le goût de la recherche.
Mais je ne donnerai pas ça de but en blanc à faire à la maison.
Ces activités avec prises de corrections précèderont ce travail maison, où pourra ajouter un ordre supplémentaire (4 chiffres).
La trace écrite sur le cahier doit permettre aux parents qui suivent leurs enfants de comprendre et aider...

@+

[EDIT]

Nombre total d'étoiles
9 + 6 + 2 = 17 Réponse 17 étoiles.

Voilà un tableau qui peut être construit en commun.
Après, on peut demander à un élève de vérifier en lui donnant 17 pions de jeu de dames, des petites boites que j'aurais commandées à ma fille avant en origami, ou des bombes à eau (ça je sais faire le pliage tout seul) dont j'aurais élargi l'ouverture pour laisser passer les pions et 1 sac en papier de taille raisonnable...

Si c'est compris on peut poser le même exercice en disant : vous êtes base six, combien vaut 122 en base dix ?

Dernière modification par yoshi (29-07-2022 12:04:44)

rareStrophe · 29-07-2022 13:05:35

Je comprends beaucoup mieux comment tout ça s'enseigne à ce niveau, notamment grâce à cette façon que tu as eu de me détailler les étapes de résolution que tu aurais demandé aux élèves pour l'exercice 1 ! C'est effectivement limpide avec le tableau et j'aime beaucoup l'idée de faire vérifier les élèves !

Je vais de ce pas acheter le livre, ça me donnera de quoi occuper les chaudes journées d'été !

Merci d'avoir pris le temps de me faire des réponses aussi complètes !

yoshi · 29-07-2022 20:37:09

B'soir,

Je pense, j'espère que le bouquin te plaira...
Tiens-moi au courant.

@+

Forum de mathématiques - Bibm@th.net

#1 27-07-2022 12:38:01

Conversion décimal↔binaire,octal,hexadécimal...

#2 27-07-2022 17:29:12

Re : Conversion décimal↔binaire,octal,hexadécimal...

#3 27-07-2022 17:58:50

Re : Conversion décimal↔binaire,octal,hexadécimal...

#4 27-07-2022 21:29:00

Re : Conversion décimal↔binaire,octal,hexadécimal...

#5 28-07-2022 13:19:32

Re : Conversion décimal↔binaire,octal,hexadécimal...

#6 28-07-2022 13:30:09

Re : Conversion décimal↔binaire,octal,hexadécimal...

#7 28-07-2022 20:07:16

Re : Conversion décimal↔binaire,octal,hexadécimal...

#8 29-07-2022 13:05:35

Re : Conversion décimal↔binaire,octal,hexadécimal...

#9 29-07-2022 20:37:09

Re : Conversion décimal↔binaire,octal,hexadécimal...

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