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Biarnès

Invité

Variance empirique sans biais

Bonjour,

Pouvez-vous m'expliquer pourquoi on pose la formule suivante comme étant un estimateur sans biais de la variance empirique:
$S^2 = \frac{1}{N-1}  \sum_{i=1}^N (X_{k} − \overset{-}{X})^2$

Si je développe le calcul du biais:
$E(S^2) = E(\frac{1}{N-1}  \sum_{i=1}^N (X_{k} − \overset{-}{X})^2)$
$E(S^2) = \frac{1}{N-1} \sum_{i=1}^N E((X_{k} − \overset{-}{X})^2)$
$E(S^2) = \frac{1}{N-1} \sum_{i=1}^N E(X_{k}^2 - 2X_{k}\overset{-}{X} + \overset{-}{X}^2)$
$E(S^2) = \frac{1}{N-1} \sum_{i=1}^N E(X_{k}^2) - 2E(X_{k})E(\overset{-}{X}) + E(\overset{-}{X}^2)$
Or: $\sum_{i=1}^N E(\overset{-}{X}) = nE(\overset{-}{X}) = \sum_{i=1}^N E(X_{k})$
Donc: $E(S^2) = \frac{N}{N-1} (E(X^2) - E^2(X))$
$E(S^2) = \frac{N}{N-1} (E(X^2) - E^2(X))$. Ce qui n'est pas égale à $Var(X)$
Je n'arrive pas à comprendre d'où sort le N-1.

Yassine

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Re : Variance empirique sans biais

Bonjour,
Ou est passé le terme $E(\overline{X}^2)$ ?