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tina

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dérivée dans D' d'une fonction périodique

Bonjour,
en fait, j'avais déjà posé la question mais l'ancien post est complétement mélangé, et je trouve que j'ai mal compris. Aidez moi à comprendre s'il vous plaît.
Si on considère une fonction $g$ définie de $\mathbb{R}$ dans $\mathbb{R}$ par $g(x)=x$, $2\pi$ périodique pour tout $x \in [0,2\pi[$.
La question est de calculer $g'$ au sens des distributions.
En premier, en remarque que $g$ est discontinue. Ensuite, puisque $g \in L^1_{loc}$ alors elle définit la distribution:
$$
\langle g,\varphi \rangle = \displaystyle\int_{\mathbb{R}} g(x) \varphi(x) dx \quad \mbox{pour tout } \varphi \in \mathcal{D}(\mathbb{R})
$$
On a $Supp \varphi \subset [R_1,R_2] \subset \cup_{k=k_1}^{k_2} [2 k _pi, 2(k+1)\pi[$, donc on écrit
$$
\langle g',\varphi \rangle = - \sum_{k=k_1}^{k_2} \displaystyle\int_{2 k \pi}^{2(k+1)\pi} g(x) \varphi'(x) dx
=\left[g(x) \varphi(x)\right]_{2 k \pi}^{2(k+1)\pi} - \displaystyle\int_{2 k \pi}^{2(k+1)\pi} g'(x) \varphi(x) dx.
$$

Ma question est: que vaut $g$ sur $[2k\pi, 2(k+1)\pi[$? pourquoi on ne peut pas dire que ça vaut $x$? Puisque $g$ est périodique. S'il vous plaît.
Merci par avance pour votre aide.

Dernière modification par tina (03-02-2017 12:49:05)

Yassine

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Re : dérivée dans D' d'une fonction périodique

Bonsoir,
Tu peux essayer de trouver toute seule !
Si $g(x)=x$ sur $[2k\pi, 2(k+1)\pi[$, alors que vaut $g(2k\pi)$ ?
Si $g$ est $2\pi$-périodique, que vaut $g(2k\pi) = g(0+k*(2\pi)) =g(0+k*Periode) $ ?