Forum de mathématiques - Bibm@th.net

Lucie!67

Invité

Dm matrices

Bonjour, j'ai un dm à faire pendant les vacances mais il y a des questions où je n'y arrive pas, pouvez vous m'aider ?

On a :
E= (0.98   0.02)
      (0.04.  0.96)

P = (1  -1)
       (1   2)

D=Q*E*P = (1.  0 )
                   (0  0.94)

Q = (1/3) * (2  1)
                    (-1  1)

Q*P = (1  0)
           (0  1)

On sait que E^n = P*D^(n) *Q

On sait aussi que R(1)=(0.25.  0.75) et que cette matrice ligne est la distribution initiale des fréquences de vote, c'est à dire qu'en début de campagne 25% des personnes veulent voter pour le candidat A et 75% pour le B

De plus, chaque semaine de nouveaux sondages sont réalisés. Chaque semaine 98% des personnes ayant voté A déclarent à nouveau une intention de voter A et 2% se prononcent B. Le candidat B conserve de semaine en semaine 96% des intentions de vote et 4% changent d'avis. D'où E= (0.98    0.02)
                                                                                                                                                                                                                                    (0.04    0.96)

On sait aussi que la matrice ligne R(n) de la distribution des intentions de vote après n semaines est donnée par R(n)= (1/12) * ([8-5*0.94^(n-1)]   [4+5*0.94^(n-1)] )

La question est : en déduire la durée de campagne nécessaire pour que les intentions de vote pour le candidat A dépassent 60%

freddy

Membre chevronné

Lieu : Paris

Inscription : 27-03-2009

Messages : 7 457

Re : Dm matrices

Salut,

OK pour t'aider, on voit assez bien la nature du sujet posé. Mais toi, qu'as-tu déjà fait ?

Lucie!67

Invité

Re : Dm matrices

Alors moi j'ai résolu (1/12)*(8-5*0,94^(n-1))>=0,60 . Apres je me retrouve avec (0,752/5)>= 0,94^n  et donc n>=31. C'est ça ou pas ?

freddy

Membre chevronné

Lieu : Paris

Inscription : 27-03-2009

Messages : 7 457

Re : Dm matrices

Re,

OK pour la démarche et la résolution, je n'ai fait aucun calcul mais si $n\ge 31$ répond à la question posée, ce que tu peux facilement vérifier, c'est OK.
Pour information, $E$ est ce qu'on appelle la matrice de transition d'une chaîne de Markov homogène, $P$ est la la matrice des vecteurs propres associés aux deux valeurs propres données par les valeurs non nulle de la matrice diagonale $D$ et $Q=P^{-1}$.

Lucie!67

Invité

Re : Dm matrices

Mais en fait pour trouver n>=31 j'ai utilisé internet mais je ne sais pas comment le démontrer,  ni savoir si c'est le bon résultat.
Savez vous comment faire ?

freddy

Membre chevronné

Lieu : Paris

Inscription : 27-03-2009

Messages : 7 457

Re : Dm matrices

Re,

ben oui.

On cherche donc $n$ tel que $\frac{1}{12}\times (8-5(0{,}94)^{n-1})\ge 0{,}60 $
$\Leftrightarrow (8-5(0{,}94)^{n-1})\ge 12\times 0{,}60 = \frac{36}{5}$
$\Leftrightarrow -5(0{,}94)^{n-1}\ge \frac{36}{5}-8=-\frac{4}{5}$
$\Leftrightarrow (0{,}94)^{n-1}\le \frac{4}{25}$

On utlise maintenant les log népériens :

$\Leftrightarrow \ln (0{,}94)^{n-1}\le \ln \frac{4}{25}$
L'inégalité ne change pas de sens car la fonction $\ln$ est croissante.
$\Leftrightarrow (n-1)\times  \ln 0{,}94\le \ln \frac{4}{25}$
$\Leftrightarrow (n-1) \ge \frac{\ln \frac{4}{25}}{\ln (0{,}94) }$
Ici, l’inégalité change de sens car $\ln 0{,}94 \lt 0$

$\Leftrightarrow n  \ge \frac{2(\ln 2 - \ln 5)}{\ln (0{,}94) }+1=30{,}6173$ soit 31 par arrondi à l'entier supérieur.

Pour la vérification, c'est encore plus simple. Tu calcules $\frac{1}{12}\times \left(8-5(0{,}94)^{31-1}\right) $ et tu trouves 0,60156 !

Tu es en quelle classe ?

Lucie!67

Invité

Re : Dm matrices

Merci ! Je suis en terminale S mais j'ai pas vu encore les log neperiens ...
Il existe pas une autre méthode ?

freddy

Membre chevronné

Lieu : Paris

Inscription : 27-03-2009

Messages : 7 457

Re : Dm matrices

Re,

non, sauf tâtonnements longs et fastidieux, qui ne constituent pas non plus une preuve formelle.

Tu vas bientôt voir les log népériens, après avoir cherché la primitive de $\frac{1}{x }$ sur $\mathbb{R_{+}^{*}}$

yoshi

Modo Ferox

Inscription : 20-11-2005

Messages : 17 405

Re : Dm matrices

Bonjour,

Rapide avec programmation de calculette (mais sera_ce accepté comme preuve ?)
Par ex pour Ti :
Prgm
puis NEW ou NOU
Donner un nom au programme. Valider
:1 --> A
:1 --> B
:While B >0.16
:A+1 --> A
:0.94^(A-1)--> B
:End
:Disp ("La valeur de n cherchée est ",A)
:End

Explications ligne par ligne :
:Je remplace n par la case mémoire A dans laquelle je mets le nombre 1
:Dans la case mémoire B, je mets n'importe quel nombre supérieur à 0.16 (= 4/25) par ex 1
:Tant Que la valeur contenue dans B est supérieure à 0.16 (FAIRE)
: Augmenter de 1 la valeur de A et ranger la valeur dans A
: Calculer 0.94^(A-1)
:Fin de la boucle TANT QUE
: Une fois sorti de la boucle, Afficher le message "La valeur Cherchée de n est " et à la suite la valeur de B
:Fin du Programme

Je n'ai pas de Ti 82, 85...etc sous la main, mais ça doit marcher parce que ça marche avec le langage AlgoBox
VARIABLES
     n EST_DU_TYPE NOMBRE
     B EST_DU_TYPE NOMBRE
DEBUT_ALGORITHME
     n PREND_LA_VALEUR 1
     B PREND_LA_VALEUR 1
     TANT_QUE (B>0.16) FAIRE
          DEBUT_TANT_QUE
               n PREND_LA_VALEUR n+1
               B PREND_LA_VALEUR pow(0.94,n-1)
          FIN_TANT_QUE
      AFFICHER "La valeur de n cherchée est "
      AFFICHER n
FIN_ALGORITHME

Voilà en sortie :

***Algorithme lancé***
La valeur de n cherchée est 31
***Algorithme terminé***

@+

Lucie!67

Invité

Re : Dm matrices

Merci beaucoup pour votre aide !