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Kim

Invité

Équation du second degré

Bonjour, j'ai un problème mathématique que je suis incapable de résoudre, j'aimerai avoir de l'aide pour mieux comprendre svp
Voici le problème:

Un bol de forme parabolique dont le diamètre mesure 10 cm contient de l'eau à une hauteur de 5 cm. En supposant que l'eau soit parfaitement stable et que le fond du bol soit le point d'origine de votre système, quels sont les points d'intersection entre le bol et le niveau de l'eau?

Donc voilà, j'ai conclu que le sommet de la parabole (qui est un minimum) est S (5;0).
Puisque le somment est un minimum, nous savons que a>0
Et que l'équation de l'eau est: y=5

Mon problème est que pour résoudre cet équation il me manque une variable et je suis incapable de la trouver puisque nous savons pas la hauteur du bol.

Merci de votre aide

tibo

Membre expert

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Re : Équation du second degré

Bonjour,

Je vais essayer de te proposer une méthode générale. Il faut traduire en langage mathématique ce texte en français.

Un bol de forme parabolique dont le diamètre...
Notons $f$ la fonction correspondante définie par
$f(x)=a(x-\alpha)^2+\beta$ avec $a$, $\alpha$ et $\beta$ trois réels (dont on cherche les valeurs).
Si j'ai choisi la forme canonique c'est parce que comme tu l'as deviné, la suite de l'énoncé nous donne une information sur le sommet. Donc autant prendre directement la forme qui nous arrange le plus.

...10 cm contient de l'eau à une hauteur de 5 cm. En supposant que l'eau soit parfaitement stable et que...
Difficile de traduire cette partie dès maintenant. Nous y reviendrons.

... le fond du bol soit le point d'origine de votre système.
En effet, cela nous donne les coordonnées du sommet $S$ de la parabole.
Mais je ne suis pas d'accord avec tes coordonnées.
De plus, on sait que $S(\alpha, \beta)$.
Il ne reste donc que la valeur de $a$ à trouver, dont on sait qu'elle est positive car le sommet est un minimum.

Résumons : Nous avons
$f(x)=a(x...$
équation de l'eau $y=5$
On cherche les points d'intersection de ces deux courbes. Il faut donc résoudre l'équation $f(x)=5$.
Cette équation aura deux solutions $x_1$ et $x_2$ (que tu peux exprimer en fonction de $a$).
Et ces solutions sont distantes de 10cm. Donc $x_1-x_2=10$.

Tu devrais pouvoir en déduire la valeur de $a$, puis résoudre le problème.

Kim

Invité

Re : Équation du second degré

Merci beaucoup, je vais essayer :)

Kim

Invité

Re : Équation du second degré

«Il faut donc résoudre l'équation f(x)=5»
Elle n'est pas déjà à sa plus simple expression? Peut importe la valeur de x, y = toujours 5.

«Cette équation aura deux solutions x1 et x2 (que tu peux exprimer en fonction de a)»
Comment savoir les quels précisément il me faut? Ou cela n'a pas d'importance?

«Et ces solutions sont distantes de 10cm. Donc x1 −x2 =10»
Je suis d'accord, mais alors faudrait-il que j'utilise la méthode de résolution de problèmes à l'aide d'un système d'équations à deux variables?

Désoler si je ne comprend pas tous.. vos explication sont très clair et je vous remercie de votre aide, c'est seulement moi qui a de la misère à interpréter tous les éléments.

tibo

Membre expert

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Re : Équation du second degré

Salut,
Qu'as-tu trouvé comme expression de $f$?

Le but du problème est de trouver les points d'intersection entre le bol et le niveau de l'eau.
$f$ est la fonction correspondante à la forme du bol.
On peut noter $g$ la fonction associée à la surface de l'eau. On a pour tout $x$, $g(x)=5$.
Il faut chercher les points d'intersection de $f$ et $g$.
Cela revient à résoudre l'équation $f(x)=g(x)$, ou plus simplement $f(x)=5$.

$x_1$ et $x_2$ seront donc les abscisses de ces points.
Mais normalement à ce stade du problème, ton expression de $f$ dépend encore de $a$.
Et tant que tu ne connais pas la valeur de $a$, tu n'as pas les valeurs exactes de $x_1$ et $x_2$.

Enfin pour l'équation $x_1-x_2=10$, je ne l'ai pas précisé dans le post précèdent, mais j'ai supposé $x_1>x_2$.
Dans le cas contraire il faudrait résoudre $x_2-x_1=10$. (C'est typiquement le genre de cas où la valeur absolue serait la bienvenue, mais je doute que tu l'ai déjà vu.)

Et pour résoudre cette équation, pas besoin de système d'équations à 2 inconnues. De toute façon tu n'as qu'une seule équation.
Mais tu peux remplacer $x_1$ et $x_2$ par des expressions dépendant uniquement de $a$, et ainsi te retrouver avec une équation avec une seule inconnue.

Dernière modification par tibo (02-12-2016 11:12:05)