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gogi

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Transposée d'une matrice

Bonjour tout le monde, quelqu'un peut m'aider à montrer ce résultat :
Si $ B  \, \lambda \, \mu  = A   \, \mu  \, \lambda  $,      alors   $ A  = B^{T} $.
Avec $ A $ et $ B $ sont deux matrices de $ \mathcal{M_{n}}(R) $ et  $ \lambda \, , \; \mu  $ sont deux vecteurs de $ R^{n} $
et merci d'avance

Dernière modification par gogi (22-11-2016 13:29:04)

freddy

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Re : Transposée d'une matrice

Salut,

il doit manquer des parenthèses, car je ne suis jamais parvenu à multiplier entre eux deux vecteurs de $\mathbb{R^n}$

Yassine

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Re : Transposée d'une matrice

Il manque aussi les quantificateurs. Sinon, prendre $\lambda = \mu = 0$, l'égalité marchera pour tout $A$ et $B$ sans pour autant avoir $B = A^T$ !

Je pense que ce ne sont pas des parenthèses qui manquent, mais des crochets (produit scalaire).
Le tout devrait être

Soient $A,B \in \mathcal{M_{n}}(R)$. Montrer que
$\left(\forall \lambda, \mu \in \mathbb{R}^n, \  \langle B\lambda, \mu\rangle = \langle \lambda, A\mu\rangle\right) \Rightarrow A=B^T$

Ce qui devrait être assez facile à obtenir en remplaçant alternativement $\lambda=e_i$ et $\mu = e_j$ où $(e_1, \cdots, e_n)$ est la base canonique de $\mathbb{R}^n$

freddy

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Re : Transposée d'une matrice

Re,

on aurait pu aussi penser à un produit vectoriel, sait-on jamais, mais quoiqu'il en soit, une question aussi mal posée nous fait comprendre pourquoi le demandeur est en aussi grande difficulté dans la discipline.