Forum de mathématiques - Bibm@th.net

soso

Invité

primitive

Je sais que l'intégrale de 0 à +infini de
exp(-x)*cos(x)

est égale à

(1/2) * exp(-x) [ sin(x) - cos(x)]

mais je n'arrive pas à voir pourquoi.

Quelqu'un peut-il m'expliquer, svp.

Merci

yoshi

Modo Ferox

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Messages : 17 404

Re : primitive

Bonsoir,

Il ne faut pas être aussi impatient... Ta solution m'a donné une idée : intégrer 2 fois de suite par partie et sommer.
Je te livre le résultat de mes cogitations (qu'il faut que j'affine encore)
1. Je choisis :
[tex]f(x) = e^{-x} \;\;\; g'(x)=Cos x[/tex]
[tex]f'(x) = -e^{-x} \; g(x)=Sin x[/tex]
J'ai donc :
[tex]\int_0^{+\infty}e^{-x}Cox\;dx=[e^{-x}Sin x]_0^{+\infty}+\int_0^{+\infty}e^{-x}Sin x\;dx[/tex]

2. Je recommence avec :
[tex]f'(x) = e^{-x} \;\; g(x)=Cos x[/tex]
[tex]f(x) = -e^{-x} \; g(x)=-Sin x[/tex]
J'ai donc :
[tex]\int_0^{+\infty}e^{-x}Cos x\;dx=[-e^{-x}Cos x]_0^{+\infty}-\int_0^{+\infty}e^{-x}Sin x\;dx[/tex]

3. Je somme membre à membre :
[tex]2\int_0^{+\infty}e^{-x}Cos x\;dx = [e^{-x}Sin x-e^{-x}Cos x]_0^{+\infty}[/tex]
Soit encore :
[tex]\int_0^{+\infty}e^{-x}Cos x\;dx = {1 \over 2}[e^{-x}(Sin x-Cos x)]_0^{+\infty}[/tex]

Voilà, si quelqu'un veut affiner à ma place...

@+

soso

Invité

Re : primitive

Je te remercie beaucoup yoshi pour ton aide. J'avais pas penser a faire 2 intégrations par parties et les sommer. Merci.