Forum de mathématiques - Bibm@th.net

aloana

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Bonsoir,

Soit f: R->R avec f(x) = (2x)/(1+x^2). Il faut que je montre que f(R) = [-1,1] j'ai donc tracé le tableau de variations de f et j'ai remarqué

que c'est négatif (f décroisse) entre -1 et 1 et que -1 est un maximun local et 1 est un minimun local. Mais je sais pas quoi faire ensuite..

Merci d'avance

aloana

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Re : Applications

Je me suis trompée c'est strictement croissante entre -1 et 1 désolé!!!

Terces

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Re : Applications

Salut, je crois que en fait tu dois juste montrer que [tex]-1 \le f(x) \le 1[/tex] pour x dans R.
Fais ton tableau de variation sur R tout entier et tu devrais conclure facilement.

aloana

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Re : Applications

Oui justement mais c'est dans la rédaction que je suis un peu perdue enfaite!! Si vous pourriez me donner un petit coup de main, merci

Terces

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Re : Applications

Avec le tableau de variation, tu vois que f décroit de -oo à -1 puis croit de -1 à 1 et décroit ensuite jusqu'à +oo  or la limite de ta fonction en +/- l'infini est 0 , f(-1)=-1 et f(1)=1 donc elles est bornée sur [0,1] ce qui répond à la question.

aloana

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Re : Applications

Je comprends pas!!

freddy

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Re : Applications

Bonsoir,

Soit f: R->R avec [tex]f(x) = \frac{2x}{1+x^2}[/tex]. Il faut que je montre que f(R) = [-1,1] j'ai donc tracé le tableau de variations de f et j'ai remarqué

que c'est négatif (f décroisse croissante) entre -1 et 1 et que -1 est un maximum minimum local et 1 est un minimummaximum local. Mais je sais pas quoi faire ensuite..

Merci d'avance

Salut,

si nous sommes d'accord sur ta fonction (on remarque qu'elle est impaire, continue et dérivable sur [tex]\mathbb{R}[/tex]), alors [tex]\forall x \in \mathbb{R},\;  f'(x)=\frac{2\times (1-x)\times (1+x)}{(1+x^2)^2}[/tex].

Le dénominateur est toujours strictement positif.

Le numérateur s'annule et change de signe aux points d'abscisse [tex]x=-1,\;x=1[/tex].

La dérivée est de signe négatif à l'extérieur des racines et positif à l'intérieur. La fonction est donc décroissante à l'extérieur des racines et croissante à l'intérieur.

Quand [tex]x[/tex] parcourt le segment [tex][-1,\;+1][/tex], [tex]f(x)[/tex]  parcourt le segment [tex][f(-1)=-1,\;f(+1)=1][/tex]

Quand [tex]x[/tex] parcourt la demi droite [tex]]-\infty,\;-1][/tex],  [tex]f(x)[/tex]  décroit sur le segment [tex]]\lim_{x \to -\infty}f(x) = 0,\; f(-1)=-1][/tex]

et quand [tex]x[/tex] parcourt la demi droite [tex][1,\;+\infty[[/tex],  elle décroit sur le segment [tex][f(1)=1,\;\lim_{x \to +\infty}f(x) = 0 [[/tex]

Conclusion ?

Dernière modification par freddy (02-10-2016 16:05:40)