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Thomdu17

Invité

Olympiades de mathématiques

Bonjour je n'arrive pas à effectuer mon exercice merci de votre compréhension.

1) Calculer , pour tout entier naturel n supérieur ou égal à 2 : (1+1/n-1) (1-1/n)

2) En vous aidant du résultat précédent , calculer le produit suivant sans utiliser la calculatrice:
                                     
                              (1-1/2²) (1-1/3²) (1-1/4²) ... (1-1/2014²)

yoshi

Modo Ferox

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Re : Olympiades de mathématiques

Salut,

Je vais être compréhensif... à la façon Bibmath.
Question 1
As-tu calculé :
[tex]\left(1+\frac{1}{n-1}\right)\left(1-\frac 1 n\right)[/tex]
OUI/NON ?
Si NON :
Remplace [tex]1+\frac{1}{n-1}[/tex] par une seule fraction de dénominateur[tex] n-1[/tex] et réduis le numérateur....
Remplace [tex]1-\frac 1 n[/tex] par une seule fraction de dénominateur[tex]n[/tex]
Effectue le produit des fractions trouvées. Qu'obtiens-tu ?

Si OUI :
tu dois écrire le produit :
[tex]\left(1-\frac{1}{2^2}\right)\left(1-\frac{1}{3^2}\right)\left(1-\frac{1}{4^2}\right)\left(1-\frac{1}{5^2}\right)\cdots\left(1-\frac{1}{2014^2}\right)[/tex]
sous cette forme :
[tex]\left(1+\frac 1 2\right) \left(1-\frac 1 2\right)\left(1+\frac 1 3\right) \left(1-\frac 1 3\right)\left(1+\frac 1 4\right) \left(1-\frac 1 4\right)\left(1+\frac 1 5\right) \left(1-\frac 1 5\right)\cdots\left(1+\frac{1}{2014}\right)\left(1-\frac{1}{2014}\right)[/tex]
Et maintenant associe les facteurs par 2 en t'inspirant du produit (1)...
Que remarques-tu ?

@+