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révélation

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action de groupe

bonsoir j'aimerais avoir un corrigé d'un exercice que j'ai trouvé sur un livre universitaire qui me parait très intéressant :
je vous l'expose :
Soit G un groupe fini d'ordre n=mp^a avec p un nombre premier et a, m des entiers naturels non nuls tels que p ne divise pas m
Soit p un sous groupe de G d'ordre p^a et Q un sous groupe de G de cardinal p^b (b naturel)
Considérons l'action de Q sur G/P suivant:
                   pour q appartenant à Q et gP appartenant à G/P,  (q,gP)--->qgP

la question est la suivante: montrer qu'il existe gP appartenant à G/P tel que qgP=gP pour tout q. En déduire que Q est inclus dans gPg^-1

merci

Fred

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Re : action de groupe

Salut,

  Je t'aide pour la première partie.
Toutes les définitions se trouvent ici.
On note [tex]Q_{gP}[/tex] le stabilisateur de gP par l'action de Q.
L'équation aux classes donne :
[tex]card(G/P)=m=\sum \frac{card(Q)}{card(Q_{g_iP})}[/tex]
Si aucun des [tex]Q_{g_iP}[/tex] n'est égal à Q, alors dans le membre de droite
tous les termes sont divisibles par p, donc le membre de droite est divisible par p.
Ceci est impossible, puisque p ne divise pas m.
Ainsi, il existe au moins g tel [tex]Q_{gP}[/tex]=Q, ce qui te donne l'élément g souhaité.

@+
Fred.

révélation

Invité

Re : action de groupe

merci je vais étudier tout ça