Nombres complexes

cléopatre · 31-01-2007 14:15:19

Bonjour à tous. Sa fait pas mal de temps que je n'ai plus rien posté ! Cela vous manque, hein ?
Bon voici un petit problème que j'ai rencontré comme sa en passant.
Montrez que |z-1/3|<3/2
Sachant que Re(z)>0
et |z²-1/2|<1/2
Voilà je voudrais une piste de niveau terminale S.
Merci à vous !!

yoshi · 31-01-2007 20:49:12

Bonsoir,

réponse rapide : ça ne sert à rien de poster en double : t'iras pas plus vite...
Je me suis penché sur ton pb...
Je débouche pas (pour ce soir)...
J'aboutis en partant de z = a+ib à a²+b² <1-->: pas satisfaisant
J'ai bien essayé de minorer/majorer... Y a aut' chose ma ch'tite mamizelle !
Faudra que je creuse plus avant, si personne ne répond...

Je "sucre" donc le doublon...

@+

cléopatre · 31-01-2007 20:59:58

Oui désolé, je pensais qu'en réalité le message n'avait pas sa place ici, vu la difficulté de celui ci... Merci d'y réfléchir c'est gentil. Désolé encore..

Dernière modification par cléopatre (31-01-2007 21:00:17)

pascal · 31-01-2007 22:20:54

excusez moi pour la question mais l'énoncé correct ne serait pas plutôt :

si |z² - 1/2| < 1/2 et Re(z) > 0 alors |z - 1/3| < 2/3 et non pas 3/2 ? parce que l'encadrement me parait un peu "large"....

yoshi · 01-02-2007 13:19:22

Bonjour,

Sans autre recherche depuis mon post, je souscris à la question de Pascal qui m'avait effectivement traversé l'esprit, question que je n'ai pas posée car (pour autant que je men souvienne) aucun de tes posts jusqu'à ce jour n'a été entaché d'une erreur d'énoncé...
Ceci dit, Pascal à raison, il y a un début à tout...
Donc, je te livre les réflexions annexes inspirées par mon résulat a² +b² <1 (si tant est qu'il n'y ait pas d'erreur de calcul...)
Le point (appelons-le A) d'affixe z tel que a² +b² < 1 est situé à l'intérieur du cercle trigonométrique..
De plus Re(z) > 0 signifie qu'il appartient au 1er ou 4e quadrant... Les positions extrêmes "limites" de ce point ont pour coordonnées (0 ; 1) et (0 ; -1)
|z - 1/3| c'est la longueur du vecteur AM, avec M (1/3 ; 0)
Cette longueur est majorée par la distance entre le point M et les points de coordonnées (0 ; 1) et (0 ; -1) soit
[tex]{\sqrt 10}\over 3[/tex]
J'arrive donc à
[tex]|{z -{1 \over 3}|< {\sqrt 10\over 3}[/tex]
Voilà où j'en étais hier soir et qui me faisait dire que je n'étais pas satisfait... La question de Pascal m'a donc poussé à expliciter complètement ma pensée...

Je vais donc reprendre mes calculs, parce que si mes calculs sont justes, 3/2 est une valeur totalement arbitraire, ce qui me dérange beaucoup, puisque mon résultat est majoré par ledit 3/2 bien sûr, mais aussi par beaucoup d'autres...
Je prolonge donc la question de Pascal par une subsidiaire : est ce bien |z - 1/3| ? Pas |z -1/2| par exemple ?

@+

cléopatre · 01-02-2007 20:35:23

L'énoncé que j'ai donné est bon...

pascal · 02-02-2007 10:20:02

Yoshi m'a donné envie de regarder de plus près ce petit problème qui ne manque pas d'intérêt. J'ai surtout voulu regarder du côté de ce fameux majorant qui ne peut pas être 3/2. Comme le dit Yoshi, on peut trouver de très nombreuses valeurs inférieures à 1,5 qui majorent |z-1/3|. Je suis parti sur des considérations géométriques et je dois avouer que c'est très inélégant mais faute de mieux...
j'ai donc appliqué le théorème d'Al Kashi et j'ai obtenu ceci (l'angle alpha est l'argument de z²):

J'ai tracé la courbe représentative de cette "petite" fonction :

On voit que le max est atteint pour x = 0 et vaut bien 2/3... on voit également un minimum atteint qui n'est pas 1/3 comme je l'ai cru au départ.

yoshi · 02-02-2007 17:49:05

Bonsoir,

Je n'ai qu'un mot à dire : boufre !!! Très joli !
Ceci diit, Cléopatre nous a assuré qu'il n'y avait pas d'erreur d'énoncé... Je me refuse donc à croire que 3/2 est un nombre arbitrairement choisi...
J'avais fait une erreur de calcul qui ne fait pas mes affaires, hélas..
En restant dans le plus grand classicisme, j'aboutis sur (a² + b²)² < a² - b² et ça je ne sais pas quoi en faire. La conclusion est donc, la force brute ayant échoué, rusons !
Je vais (essayer de) pister le fait que :
[tex]a^2 + b^2 = z\bar z[/tex]
Reste le a² - b²...
Si quelqu'un a une idée...

@+

cléopatre · 06-02-2007 19:36:37

J'arrive vraiment pas. En faites, je suis arrivé mais avec les coordonnées polaires mais en posant z=a+b*i je n'y parvient pas. Comment aboutis-tu à ce que tu a trouvé?

Dernière modification par cléopatre (06-02-2007 19:51:21)

yoshi · 06-02-2007 19:47:46

Bonsoir,

Pas vraiment eu le temps de m'y replonger, désolé...
J'ai mis deux collègues sur le coup, ils penchent comme moi pour une solution géométrique.

Fais-nous part de tes calculs en coordonnées polaires, on gagnera peut-ête du temps...

@+

cléopatre · 06-02-2007 21:21:28

Excusez moi, j'ai fais une erreur en recopiant...au début et à la fin...
Y a t-il une erreur ?

Dernière modification par cléopatre (07-02-2007 14:34:09)

john · 06-02-2007 23:21:19

Hello
je n'ai probablement pas lu suivant la bonne diagonale mais il me semble que ce n'est pas ce qu'on te demande de démontrer...
A+

yoshi · 07-02-2007 08:43:02

Bonjour,

Cléopatre, je te suis dans tes préliminaires : tu aboutis à a² + b² <1 (inégalité stricte) ce que j'avais trouvé au début même si (et j'ai donc eu de la chance) c'était entaché d'une faute de signe...
Par contre, dès ta résolution commencée, tu écris :
[tex]|z^2 -{1 \over2}|^2 =\left( a -{1 \over 3} \right)^2 + b^2[/tex]
ET là, je ne te suis plus : il y a le 1/3 qui tombe comme "un cheveu sur la soupe"...
Ciomment justifies-tu ton égalité ? Par ton préliminaire ? Rien (à première vue), dans ledit préliminaire, permet d'y arriver
Ensuite, ta conclusion est :
[tex]|z^2 -{1 \over2}|^2 < {2 \over 3}[/tex]
Or ,tu nous as dit que ton énoncé ne comportait pas d'erreur, et selon celui-ci, la conclusion doit être :
[tex]|z -{1 \over 3}| < {3 \over 2}[/tex]

Il faudrait savoir...

Mais je te rends grâce sur ton jeu de minoration/majoration : il m'avait échappé. Je vais donc revoir ça un peu autrement pour aboutir à à |z - 1/3| < 3/2

@+

[EDIT]
Le 01/02/2007 j'écrivais :

.... a² +b² <1 (si tant est qu'il n'y ait pas d'erreur de calcul...)
Le point (appelons-le A) d'affixe z tel que a² +b² < 1 est situé à l'intérieur du cercle trigonométrique..
De plus Re(z) > 0 signifie qu'il appartient au 1er ou 4e quadrant... Les positions extrêmes "limites" de ce point ont pour coordonnées (0 ; 1) et (0 ; -1)
|z - 1/3| c'est la longueur du vecteur AM, avec M (1/3 ; 0)
Cette longueur est majorée par la distance entre le point M et les points de coordonnées (0 ; 1) et (0 ; -1) soit
[tex]{\sqrt 10}\over 3[/tex]
J'arrive donc à
[tex]|{z -{1 \over 3}|< {\sqrt 10\over 3}[/tex]

J'ajoute donc aujourd'hui : laquelle valeur [tex]{sqrt 10 \over 3}[/tex] est elle-même majorée par 3/2...
Donc on a bien :
[tex]|{z -{1 \over 3}|< {3\over 2}[/tex]
Mais, comme je l'ai écrit, je ne peux pas être satisfait parce que je peux majorer ma distance par n'importe quel nombre supérieur à 3/2, et donc cette valeur 3/2 est parfaitement arbitraire, ce qui me gêne profondément...

yoshi · 07-02-2007 09:51:06

Re-bonjour,

1. Peut-être as-tu voulu écrire :
[tex]|z -{1\over 3}|^2 =\left( a -{1 \over 3} \right)^2 + b^2[/tex]

2. Il me semble que ton raisonnement est entaché d'une faute . Tu écris en effet :
[tex]a^2-{2\over 3}a+{1\over 9}+b^2\le a^2+b^2-{2\over 3}(a^2+b^2)+{1\over 9}[/tex]

Je vais écrire ça comme ça :
[tex]a^2+\left( -{2\over 3}a \right)+{1\over 9}+b^2\le a^2+b^2-{2\over 3}(a^2+b^2)+{1\over 9}[/tex]

Ensuite avec [tex]a\le a^2+b^2[/tex], moi j'obtiens :
[tex]{2\over 3}a\le {2\over 3}(a^2+b^2)[/tex]

Et enfin :
[tex]{-}{2 \over 3}a \ge {-}{2 \over 3}(a^2 + b^2)[/tex]

Donc, en fait :
[tex]a^2-{2\over 3}a+{1\over 9}+b^2\ge a^2+b^2-{2\over 3}(a^2+b^2)+{1\over 9}[/tex]

D'où il vient que ta conclusion (corrigée) :
[tex]|z-{1 \over 3}|^2 \le {2 \over 3}(a^2 + b^2)+{1 \over 9}[/tex]
est invalide...

Je continue mes investigations.

@+

john · 07-02-2007 11:13:08

Hello les galériens !
pour cesser de ramer je vous propose ceci (à vérifier de près évidemment !!!)

Dans un triangle de côtés a, b et c on a toujours :
|b - c| < a < b + c
En se plaçant dans le plan comlexe, on en déduit que :

1) dans le triangle de côtés 2.|z|², |2.z² - 1| et 1
2.|z|² - 1 < |2.z² - 1| < 2.|z|² + 1
et si (d'après l'énoncé) |2z² - 1| < 1 alors 2.|z|² - 1 < 1
d'où |z| < 1

2) dans le triangle de côtés 3.|z|, |3z - 1| et 1
3.|z| - 1 < |3z - 1| < 3.|z| + 1
or |z| < 1 (d'après 1)
3.|z| + 1 < 4

Conclusion
|3z - 1| < 4 < 9/2
ou encore
|z - 1/3| < 3/2

Bye

yoshi · 07-02-2007 12:44:41

Bonjour John, Bonjour Cléopatre

Bin, vrai, John, t'en a mis un temps à te manifester ! :-)
Bon, tu m'as (partiellement) "grillé". Je crois que j'ai une solution, pas tout à fait la même heureusement (ça m'aurait contrarié de tomber sur la même méthode : dans ma jeunesse -voix chevrotante- mes solutions étaient souvent originales, donc "impompables...)
Je suppose déjà vrai que a² + b² <1.
En regardant d'un peu plus près le chapitre de TS sur les complexes, j'y (re-)découvre l'inégalité triangulaire : |z + z'| < |z| + |z'|

J'écris donc :
[tex]|z^2-{1\over 2}|=|z^2+\left( {-}{1\over 2}\right)| <|z^2|+|-{1 \over 2}|[/tex]

Soit :
[tex]|z^2-{1\over 2}| <|z^2|+{1 \over 2}[/tex]

Avec z = a+ib, on a z² = (a² - b²)+i*2ab et
[tex]|z^2|= \sqrt{(a^2 - b^2)^2 + 4a^2b^2}[/tex]

D'où on arrive à
[tex]|z^2|= \sqrt{(a^2 + b^2)^2}= a^2+b^2[/tex]
Là, je me fais l'impression de réinventer la roue, il doit y avoir un point du cours qui donne cette propriété : ça serait tellement plus "élégant"...
Je tâcherai de vérifier...

Donc, je peux écrire maintenant :
[tex]|z^2-{1\over 2}| <a^2+b^2+{1 \over 2}[/tex]

Soit (Attention : c'est : Dédé la Bricole, le retour II)
[tex]a^2+b^2+{1 \over 2}< 1+{1\over 2} \text { soit encore} |z| +{1 \over 2}<{3\over 2}[/tex]
MAis :
[tex]|z| +{1 \over 3}<|z| +{1 \over 2}[/tex]

Or, inégalité triangulaire :
[tex]|z +({-}{1 \over 3})|<|z|+{ 1 \over 3}[/tex]

J'ai donc :
[tex]|z-{1\over 3}|<{3 \over 2}[/tex]

Bon, ça pourrait être aussi n'importe quelle fraction inférieure à 1/2, mais l'énoncé demande de partir de |z - 1/3|, ce qui est différent de ce qu'a fait John, avec qui (pour une fois), je suis en léger désaccord...
En effet on a bien 4 < 9/2 mais aussi 4 < 15/2 et des tas d'autre fractions gardant comme dénominateur 2 après division par 3
Dommage, la soluce est bien plus courte !

Voilà, j'attends les réactions..

yoshi · 07-02-2007 16:09:36

Bonjour,

J'ai édité et coupé mon précédent message pour rendre la filiation plus lisible..
Cléopatre : l'erreur est dans la manipulation des inégalités --> Vois le post de 9 h 51.

Depuis, j'avais écrit :
<------------------------------------------------------------------------------------>
[EDIT]14 h 45

Oups ! J'ai gaffé !
a² + b² ce n'est pas |z|, mais |z|²...
Donc, copie à revoir ! Mais, je maintiens mon objection quant au "bricolage" final de John, parce que sinon, bricolage pour bricolage, j'arrivais moi il y a quelques jours, à :
[tex]|z -{1\over 3}|<{{sqrt 10}\over 3}<{3 \over 2}[/tex]

Donc, à suivre...

[EDIT] 15 h 40 Suite ( et fin, j'espère !)

Ma solution est donc :
[tex]|z^2-{1\over 2}|=|z^2+\left( {-}{1\over 2}\right)| <|z^2|+|-{1 \over 2}|[/tex]

Alors, avec |z|<1, j'ai établi que :
[tex]|z|^2+{1 \over 2}<{3 \over 2}[/tex]

Il me faut maintenant vérifier si
[tex]|z|+{1 \over 3}<|z|^2+{1 \over2}[/tex]
auquel cas je retombe sur mes pieds...

Donc, l'inéquation à vérifier s'écrit aussi :
[tex]|z|<|z|^2+{1 \over2}-{1 \over 3}\text{ ou encore }|z|<|z|^2+{1 \over 6}[/tex]

Puisque |z|<1 alors |z|²<1 et l'inéquation devient :
[tex]|z|<{7 \over 6}[/tex]
ce qui est toujours vrai.

Je peux donc écrire :
[tex]|z +({-}{1 \over 3})|<|z|+{ 1 \over 3}<|z|^2+{1 \over2}<{3 \over 2}[/tex]

Quant à mon questionnement sur la réinvention de la roue, elle se résume à l'évidence (qui ne m'a pas frappé ce matin et pour cause !) suivante :
|z²|=|z|² !!!

@+

john · 07-02-2007 19:07:03

... il m'arrive souvent de bricoler mais là je ne vois pas de quoi tu veux parler Yoshi.
----------------------------------
Soit à démontrer que A < 2.
----------------------------------
En utilisant 2 fois l'inégalité triangulaire ou autre chose, supposons que je parvienne à démontrer que A < 1.
Alors c'est gagné j'en déduis que A < 2.
Où est le bricolage ?
----------------------------------
Nota hors sujet :
Quant à mon temps de réponse... il augmente notablement quand je suis KO. Et c'est DrScheme qui m'a mis KO après une semaine de longues soirées d'hiver à me battre avec les parenthèses ouvertes et fermée. Quelle horreur !
Au fait, ce code a t-il au moins servi à qq chose ? On ne le saura jamais.
A+

yoshi · 07-02-2007 19:39:39

Salut John,

Les cauchemars dûs aux Maths, ça peut arriver ! Content de savoir que tu vas bien maintenant...

A propos de bricolage, je précise ma pensée.
J'ai pu prouver moi que :
[tex]|z-{1 \over 3}|<{sqrt 10 \over 3}\text { donc que }|z-{ 1 \over 3}|<{ 3 \over 2}[/tex]
et je ne m'en suis pas trouvé satisfait, j'ai considéré que c'était du bricolage... En effet, pourquoi pas en déduire que :
[tex]|z-{1 \over 3}|<{4 \over 3}[/tex] ?
Je trouve en effet arbitraire de majorer ma valeur par 3/2 et pas par n'importe quoi d'autre. Pourquoi justement 3/2 ? Parce que l'énoncé me demande 3/2 ? Bof, ça ne me satisfait pas...

Même mon passage de |z² - 1/2| à |z - 1/3| ne me satisfait pas, j'aurais aimé passer "harmonieusement" de l'un à l'autre... Au lieu de cela, j'ai repris la première partie de la conclusion, pour redémarrer : ça me laisse comme un goût d'inachevé... J'aimerais avoir tort !

Peut-être en fait suis-je trop perfectionniste (qui a dit "tatillon" ?) ?

@+

pascal · 07-02-2007 20:48:12

hum..excusez moi mais en regardant le message de cléopatre qui reconnait avoir écrit au départ un énoncé erroné, on parlait donc bien de majorer |z - 1/3| par 2/3 et pas 3/2....donc, il faut travailler sur 2/3 maintenant.

yoshi · 07-02-2007 21:27:38

Bonsoir,

1. Y a-t-il erreur d'énoncé ou pas ? Pascal en semble persuadé même si tu as déjà répondu non une fois..

2. J'ai écrit

Il me semble que ton raisonnement est entaché d'une faute . Tu écris en effet :
[tex]a^2-{2\over 3}a+{1\over 9}+b^2\le a^2+b^2-{2\over 3}(a^2+b^2)+{1\over 9}[/tex]
Je vais écrire ça comme ça :
[tex]a^2+\left( -{2\over 3}a \right)+{1\over 9}+b^2\le a^2+b^2-{2\over 3}(a^2+b^2)+{1\over 9}[/tex]
Ensuite avec [tex]a\le a^2+b^2[/tex], moi j'obtiens :
[tex]{2\over 3}a\le {2\over 3}(a^2+b^2)[/tex]
Et enfin :
[tex]{-}{2 \over 3}a \ge {-}{2 \over 3}(a^2 + b^2)[/tex]
Donc, en fait :
[tex]a^2-{2\over 3}a+{1\over 9}+b^2\ge a^2+b^2-{2\over 3}(a^2+b^2)+{1\over 9}[/tex]
D'où il vient que ta conclusion (corrigée) :
[tex]|z-{1 \over 3}|^2 \le {2 \over 3}(a^2 + b^2)+{1 \over 9}[/tex]
est invalide...

3. Oui tu as raison. Ceci dit, on a bien l'inégalité finale vraie ce qui me fait "une belle jambe"...Faut que je recreuse et ça m'embête, je tombais pile sur 3/2... Sinon, et bien reste toujours le "bricolage" avec :
[tex]{sqrt 10 \over 3} < {3 \over 2}[/tex]
Ma faute est "subtile", j'entrevois une raison... Mais pour ce soir, basta !

Demain sera un autre jour !

[EDIT]Non la faute est bête, j'ai pris mes désirs pour des réalités, j'ai pris pour acquis que :
[tex]|z|<|z|^2+{1 \over 6}[/tex]

[EDIT] bis repetita... Je m'étais promis..

BOn, enfin, voilà :
[tex]|z|<1 \mbox{ donc }|z|+{1 \over 2}<{3 \over 2}[/tex]
Or :
[tex]|z|+{1 \over 3}<|z|+{1 \over 2}[/tex]
donc :
[tex]|z|+{1 \over 3}<{3 \over 2}[/tex]
Et on reprend à :
[tex]|z -{1 \over 3}|<|z|+{1 \over 3}<{3 \over 2}[/tex]

@+

cléopatre · 07-02-2007 22:14:14

Attention |z|²<1 est faux car il peut être égale !!
Donc on obtient pas : |z-1/3|<3/2 mais |z-1/3|<=3/2
Cependant, j'ai utilisé la méthode bricolée de Yoshi qui est au contraire de ce qu'il pense très simpas.
Par ailleurs, si on peut m'expliquer pourquoi dans un triangle |b-c|<a<b+c ?

Dernière modification par cléopatre (07-02-2007 22:30:58)

yoshi · 08-02-2007 12:42:10

Bonjour,

Oui, je sais, j'en ai été parfaitement conscient (que c'était discutable) à chacun de mes posts ! Mais je ne vais pas "m'amuser" à rentrer dans les détails, parce que ça reste un point de "détail"... S'il le faut, je vais y repenser pour regarder ça de plus près...
Merci de trouver mon bricolage sympa...
Ceci dit, je persiste et signe !

Par ailleurs, si on peut m'expliquer pourquoi dans un triangle |b-c|<a<b+c ?

Détail pour détail, puisqu'on en est là, je signale qu'avec 3 points A, B, C aligné,s on est dans la configuration "triangle aplati"...
On devrait donc écrire : [tex]|b - c]|\le a \le b +c[/tex]

Pour a < b + c, la démonstration figurait dans le bout de chapitre "Régionnement du plan par la médiatrice" (du cours de 4e, d'il y a un certain temps... une dizaine d'année peut-être).
C'est l'inégalité triangulaire, la longueur d'un côté est toujours inférieure (ou égale si l'on accepte le triangle aplati) à la somme des deux autres...
Pour la première partie |b - c| < a, ça me paraît évident, je ne connais pas la démo (jamais vue) mais je vais y penser !

@+

john · 10-02-2007 16:34:15

Hello cléopatre,

Je me suis amusé hier à résoudre ce Pb avec la dernière version de geolabo. Sympa le lieu du vecteur (z - 1/3) lorsque le vecteur (z² -1/2) décrit le cercle de rayon 1/2. On obtient une espèce de lobe radar que j'ai appelé le ''pétale de cléopatre'' (houaouuuu....) mais je me suis vite retrouvé dans l'impossibilité d'envoyer des fleurs à qui que ce soit.
Il me semble que sur le site berceau de geolabo, il devrait être possible de coller dans le forum des petites applications à caractère particulier telles que celle-ci. Je me suis inscrit en pensant que ce serait faisable en raison des nombreux avantages réservés aux membres mais rien pour le moment.
A+

Au fait, un détail, il ne suffit pas que tu affirmes

cléopatre a écrit :

Attention |z|²<1 est faux car il peut être égale !! ...

il faut aussi le démontrer. On attend...

yoshi · 10-02-2007 20:20:14

Bonsoir John,

Tu peux toujours afficher une copie d'écran dans un post...

Je suis très curieux de voir ce fameux pétale ! Voilà que tu vas concurrencer Pascal et ses macros fantastiques...

Que de talents sur BibMath !

@+

Forum de mathématiques - Bibm@th.net

#1 31-01-2007 14:15:19

Nombres complexes

#2 31-01-2007 20:49:12

Re : Nombres complexes

#3 31-01-2007 20:59:58

Re : Nombres complexes

#4 31-01-2007 22:20:54

Re : Nombres complexes

#5 01-02-2007 13:19:22

Re : Nombres complexes

#6 01-02-2007 20:35:23

Re : Nombres complexes

#7 02-02-2007 10:20:02

Re : Nombres complexes

#8 02-02-2007 17:49:05

Re : Nombres complexes

#9 06-02-2007 19:36:37

Re : Nombres complexes

#10 06-02-2007 19:47:46

Re : Nombres complexes

#11 06-02-2007 21:21:28

Re : Nombres complexes

#12 06-02-2007 23:21:19

Re : Nombres complexes

#13 07-02-2007 08:43:02

Re : Nombres complexes

#14 07-02-2007 09:51:06

Re : Nombres complexes

#15 07-02-2007 11:13:08

Re : Nombres complexes

#16 07-02-2007 12:44:41

Re : Nombres complexes

#17 07-02-2007 16:09:36

Re : Nombres complexes

#18 07-02-2007 19:07:03

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#19 07-02-2007 19:39:39

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#20 07-02-2007 20:48:12

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#24 10-02-2007 16:34:15

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#25 10-02-2007 20:20:14

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