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GoVegan

Invité

Exercice sur le suites

Bonjour à tous, j'ai un exercice à faire en tant que DM mais je ne parviens pas à le terminer, est ce que quelqu'un serais m'aider s'il vous plait ? Le voici :

La suite U_n est définie par U₀ et U₁ et par la relation de récurrence 2U_n+2 - 3U_n+1 + U_n = 0 où n est un nombre entier naturel.
On définit :
V_n = U_n+1 - U_n et S_n = V₀ + V₁ + ... + V_n-1
a Déterminer une relation de récurrence entre V_n+1 et V_n et en déduire l'expression de V_n en fonction de n, U₀ et U₁
J'ai fait ici V_n+1 - V_n et j'ai obtenu V_n+1 - V_n = U_n+2 - 2U_n+1 + U_n et j'ai ensuite trouver que V_n+1 - V_n = (- U_n+1 + U_n) / 2
J'ai aussi trouver une autre façon mais je ne sais pas laquelle est la mieux, j'ai trouver que 2V_n+1 - V_n = 2U_n+2 - 3U_n+1 + U_n

b Calculer S_n de deux façons différentes et en déduire l'expression de U_n en fonction de n, U₀ et U₁
Je n'y suis pas arrivé

c  Calculer la limite de U_n en fonction de U₀ et U₁
Je n'est pas pue la faire ducoup

Voila je suis vraiment bloqué, si quelqu'un serais m'aidé se serait vraiment gentil, merci beaucoup !

yoshi

Modo Ferox

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Re : Exercice sur le suites

Salut,

a)

J'ai fait ici [tex]V_{n+1} - V_n[/tex] et j'ai obtenu [tex]V_{n+1} - V_n = U_{n+2} - 2U_{n+1} + U_n[/tex] et j'ai ensuite trouvé que [tex]V_{n+1} - V_n = (- U_{n+1} + U_n) / 2[/tex]
J'ai aussi trouver une autre façon mais je ne sais pas laquelle est la mieux, j'ai trouvé que [tex]2V_{n+1} - V_n = 2U_{n+2 }- 3U_{n+1} + U_n[/tex]

Pour ta première proposition, tu es assez loin d'une relation de récurrence entre [tex]V_{n+1}[/tex] et [tex]V_n[/tex]
La 2nde proposition par contre, tu es près du but.
N'as-tu pas remarqué que [tex]2V_{n+1} - V_n = 2U_{n+2 }- 3U_{n+1} + U_n\;\Leftrightarrow\; 2V_{n+1} - V_n =0\;\Leftrightarrow\;V_{n+1}=\frac 1 2 V_n [/tex] ?
Tu peux en déduire que [tex]V_n=\frac{1}{2^n}V_0[/tex] suite géométrique de 1er terme [tex]V_0[/tex] et de raison [tex]\frac 1 2[/tex].

[tex]S_n=V_0+V_1+V_2+\cdots+V_{n-1}[/tex]
[tex]V_1[/tex], [tex]V_2[/tex],..., [tex]V_{n-1}[/tex] par leur expression en fonction de [tex]V_0[/tex] :
[tex]S_n=V_0+\frac{1}{2^1}V_0+\frac{1}{2^2}V_0+\cdots+\frac{1}{2^{n-1}}V_0[/tex]
[tex]S_n=V_0\left(1+\frac{1}{2^1}+\frac{1}{2^2}+\cdots+\frac{1}{2^{n-1}}\right)[/tex]
Somme des termes d'une suite géométrique...

[tex]S_n = V_0\left(2-\frac{1}{2^{n-1}}\right)[/tex]

2e méthode.
Je vais creuser la piste
[tex]S_n=V_0+V_1+V_2+V_3+\cdots+V_{n-1}=U_1-U_0+U_2-U_1+U_3-U_2+U_4-U_3+\cdots+U_n-U_{n-1}[/tex]
Et, sauf erreur :
[tex]S_n=U_n-U_0[/tex]

Je m'absente 3 h, je reprends après.

@+

GoVegan

Invité

Re : Exercice sur le suites

Bonsoir yoshi, sache que je tient à te remercier énormément pour l'aide que tu m'apporte, je suis sur cet exercice depuis lundi dernier et je n'ai encore jamais eu de réponses sur cet exercice sur aucun forum sauf sur celui ci, tu m'es d'une aide précieuse !

J'ai bien compris ce que tu as fait, merci beaucoup ! J'ai compris la partie que tu a rédigé et je te remercie encore une fois pour l'aide que tu m'apporte !

yoshi

Modo Ferox

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Re : Exercice sur le suites

Salut,

Alors, c'est parfait, si tu n'as pas besoin de moi...
Sais-tu qu'on peut calculer [tex]S_n[/tex] autrement ?
C'est une méthode "classique qui'il est bon dce connaître:
Je pose
[tex]s=1+\frac{1}{2^1}+\frac{1}{2^2}+\cdots+\frac{1}{2^{n-1}}[/tex]
J'écris 1/2 s :
[tex]\frac 1 2 s = \frac{1}{2^1}+\frac{1}{2^2}+\cdots+\frac{1}{2^{n-1}}+\frac{1}{2^n}[/tex]
Je soustrais membre à membre :
[tex]s-\frac 1 2 s  = 1+\frac{1}{2^1}+\frac{1}{2^2}+\cdots+\frac{1}{2^{n-1}}-\frac{1}{2^1}-\frac{1}{2^2}-\cdots-\frac{1}{2^{n-1}}-\frac{1}{2^n}[/tex]
J'obtiens donc :
[tex]\frac 1 2 s=1-\frac{1}{2^n}\;\Leftrightarrow\;s=2-\frac{1}{2^{n-1}}[/tex]

Quelle limite as-tu trouvée ?

Pour finir, un conseil : essaie de refaire ton exercice de A à Z dans quelques jours, lorsque le souvenir se sera quelque peu délité...
Ainsi tu sauras si tu as réellement compris ou pas...

@+

GoVegan

Invité

Re : Exercice sur le suites

2e méthode.
Je vais creuser la piste
[tex]S_n=V_0+V_1+V_2+V_3+\cdots+V_{n-1}=U_1-U_0+U_2-U_1+U_3-U_2+U_4-U_3+\cdots+U_n-U_{n-1}[/tex]
Et, sauf erreur :
[tex]S_n=U_n-U_0[/tex]

Ducoup cette méthode est elle à prendre en compte ou est ce une troisième méthode ?
Je n'est pas réussi à faire la limite de U_n car je n'est pas déduis U_n en fonction de n je ne suis pas arrivé à le faire :/
Merci pour ton aide !

yoshi

Modo Ferox

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Re : Exercice sur le suites

Salut,

Ton énoncé te demande 2 méthodes de calcul de [tex]S_n[/tex], sous entendu pour arriver à 2 résultats différents !
Celle que je viens de te montrer ci-dessus est une méthode différente de celle du calcul de la somme des termes pour arriver aussi à :
[tex]S_n =V_0\left(2-\frac{1}{2^{n-1}}\right)[/tex] c'est le 1er résultat dont tu as besoin.

Le 2e résultat est bien celui-ci :
[tex]S_n=U_n-U_0[/tex]

Mais, il y a encore une manipe à faire :
[tex]V_0=U_1-U_0[/tex]
donc :
[tex]S_n =V_0\left(2-\frac{1}{2^{n-1}}\right)=(U_1-U_0)\left(2-\frac{1}{2^{n-1}}\right)[/tex]

Pour finalement égaler les 2 expressions de [tex]S_n[/tex] :
[tex]U_n-U_0 = (U_1-U_0)\left(2-\frac{1}{2^{n-1}}\right)[/tex]
[tex]\Leftrightarrow[/tex]
[tex]U_n = (U_1-U_0)\left(2-\frac{1}{2^{n-1}}\right)+U_0[/tex]

c) Limite
[tex]\lim\limits_{n\to+\infty}\left(2-\frac{1}{2^{n-1}}\right) =?[/tex]
Et après, tu en déduis la limite de [tex]U_n[/tex] en fonction de [tex]U_1[/tex] et [tex]U_0[/tex]

Rideau pour ce soir, je reprends demain matin, si nécessaire...

@+

GoVegan

Invité

Re : Exercice sur le suites

Ah d'accord ! Merci énormément ! Donc la limite est - ∞ car lim n -> + ∞ (2) = 2 et lim n -> + ∞ (1/2^n-1) = - ∞ c'est ça ? :)

freddy

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Re : Exercice sur le suites

Salut,

euh, non !?! Que vaut [tex]\frac{1}{2^3}[/tex] ? et [tex]\frac{1}{2^4}[/tex] ? et [tex]\frac{1}{2^{10}}[/tex] et donc [tex]\lim_{n \to +\infty}\left(\frac{1}{2^{n-1}}\right)[/tex] ?

PS : une petite astuce pour ton niveau. Quand on demande d'exprimer une limite en fonction de termes constants, tu ne peux pas trouver plus ou moins l'infini. Cette indication dans la formulation de la question doit te permettre de te remettre en question et de te poser les bonnes questions. Plus tard, bien plus tard, tu auras à décider si ton calcul est bon. Et pour ce faire, rien de plus simple que de mettre des techniques de vérifications en place, comme je viens de te le suggérer. Bon courage.

Dernière modification par freddy (23-02-2016 07:20:20)

yoshi

Modo Ferox

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Re : Exercice sur le suites

Bonjour,

Ainsi que le dit freddy dans son PS, il faut toujours te demander si la réponse donnée est cohérente avec la question posée.
Ici, en admettant que [tex]\lim\limits_{n \to +\infty}\left(\frac{1}{2^{n-1}}\right)=-\infty[/tex], alors
[tex]\lim\limits_{n \to +\infty}\left(2-\frac{1}{2^{n-1}}\right)=+\infty[/tex]
puis
[tex]\lim\limits_{n \to +\infty}(U_1-U_0\left(2-\frac{1}{2^{n-1}}\right)=+\infty[/tex]
et enfin
[tex]\lim\limits_{n \to +\infty}(U_1-U_0\left(2-\frac{1}{2^{n-1}}\right)+U_0=+\infty[/tex]

Donc pour résumer, on aurait alors  :
[tex]\lim\limits_{n \to +\infty}U_n=+\infty[/tex]
Mais l'énoncé te dit :
Calculer la limite de [tex] U_n[/tex] en fonction de [tex]U_0[/tex] et [tex]U_1[/tex]

Considères-tu que [tex]+\infty[/tex] est une limite exprimée en fonction de [tex]U_0[/tex] et [tex]U_1[/tex] ???

Prends ta calculette et complète le tableau :

n     |     1 |      2 |     3 |     10 |     20
------|-------|--------|----------------------------------
2^n-1   |     1 |      2 |     4 |    512 | 524288
------|-------|--------|-------|--------|------------------
1/2^n-1 |       |        |       |        |

Sauf erreur, comme dit l'ami freddy, la limite de [tex]U_n[/tex] que tu dois trouver est [tex] 2U_1-U_0[/tex]

@+

GoVegan

Invité

Re : Exercice sur le suites

Bonjour, merci pour vos aides ! Voici le tableau complété :

n                              1         2          3           10             20

1/2^n-1     1        0.5      0.25       0.00195      1.91E-6

C'est vrai que ma réponse était absurde quand on regarde bien ! Donc j'en déduis que lim n-> + ∞ (U_n) = 2U₁ - U₀
Et je n'ai rien d'autre a prouver ?

yoshi

Modo Ferox

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Re : Exercice sur le suites

Salut,

tu vas un peu vite, tu n'as pas montré que tu sais comment je suis arrivé à [tex]2U_1-U_0[/tex]
Donc
1. [tex]\lim\limits_{n\to +\infty}\frac{1}{2^{n-1}} = 0[/tex]
2. Alors [tex]\lim\limits_{n\to +\infty}\left(2-\frac{1}{2^{n-1}}\right) = 2[/tex]
3. [tex]\lim\limits_{n\to +\infty}(U_1-U_0)\left(2-\frac{1}{2^{n-1}}\right) = 2(U_1-U_0)[/tex]
4. [tex]\lim\limits_{n\to +\infty}U_n= 2(U_1-U_0)+U_0[/tex]
5. Enfin...

@+

GoVegan

Invité

Re : Exercice sur le suites

Ah oui mais je l'avais fait par écrit mais je ne l'ai pas marqué ici donc :

lim 2U₁ - 2U₀ + U₀ = 2U₁ - U₀
Donc lim U_n = 2U₁ - U₀

yoshi

Modo Ferox

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Re : Exercice sur le suites

Re,

OK !
T'es au bout.

As-tu compris pourquoi tu ne pouvais pas avancer, où étaient les blocages ?

@+

GoVegan

Invité

Re : Exercice sur le suites

Merci énormément pour votre aide ! Je pense que c'est parce que je n'est pas les valeurs de U₀ et de U₁ ? En tout cas je ne sais pas comment vous remercier, merci beaucoup !!