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Matécha tz

Invité

continuité sur un intervalle

Bonjour,
j'ai une petite question qui me dérange:
si on traduit le fait que f est continue sur un intervalle I, par f est continue en tout point y de I: je trouve, pour tout ε>0, il existe η>0; tel que pour tous x et y de I on a: |x-y|<η implique que |f(x)-f(y)|<ε
Mais c'est une définition est celle de la continuité uniforme. Comment donc distinguer entre continuité et continuité uniforme?
le problème c'est que j'arrive à les distinguer intuitivement en imaginant le rapprochement des termes, mais pour la traduction en math non!

Merci d'avance de m'aider.

Fred

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Re : continuité sur un intervalle

Salut,

  C'est une question d'ordre des quantificateurs.
f est continue en y se traduit par : [tex]\forall \varepsilon>0,\ \exists \eta>0,\ \forall x\in I,\ |x-y|<\eta\implies |f(x)-f(y)|<\varepsilon.[/tex]

Si f est continue en tout point de y de I, c'est que la définition précédente est vraie pour tout y. Tu dois donc ajouter le quantificateur "quelque soit y" devant :
[tex]\forall y\in I,\ \forall \varepsilon>0,\ \exists \eta>0,\ \forall x\in I,\ |x-y|<\eta\implies |f(x)-f(y)|<\varepsilon.[/tex]
Ceci n'est donc pas la continuité uniforme.

F.

Matécha tz

Invité

Re : continuité sur un intervalle

Bonjour,
La différence c'est que dans la continuité le η dépend de ε et de y, mais pour la continuité uniforme η ne dépend que de ε, il ne dépend pas de y, c'est ça?
Merci.

Fred

Administrateur

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Re : continuité sur un intervalle

C'est cela !

Matécha tz

Invité

Re : continuité sur un intervalle

Ok. Merci Fred!