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Sarac

Invité

Des dérivés,primitives,... niveau terminal/licence 1

Bonjour/ bonsoir, alors voilà j'ai un devoir libre à faire et il y a des questions qui me posent problème, je vous en donne l'énoncé,

1) Montrer que pour tout x>=0,
x/x+1 <= ln(1+x)<= x
(on pourra considérer les fonctions f(x)=x- ln(1+x) et g(x) = (x+1) ln(1+x) - x

2) Montrer que pour tout entier n>=1, on a:
1/(n+1)< ln(n+1) - ln(n) <= 1/n

3) Pour n >=1, soit Un= 1+ 1/2+... +1/n. Deduire de (2) que
ln(n+1)<= Un <= ln(n)+1
et que la suite (Un) n'est pas convergente.

4) Pour n>=1, soit Vn= Un- ln(n). Montrer que (Vn) est décroissante et positive. Que peut-on en conclure

Mes resultats

1) J'ai tout simplement montrer que f(x) et g(x) étaient toujours positives en étudiants leurs dérivés, et la valeur de leur rang initials, comme f, et g sont croissantes et ont pour minimum 0, on peut conclure que les inégalités sont vraies.

2) J'ai posé n<= x <= 1/x+1
              1/n+1<= 1/x <= 1/n
Integrale pour x allant de n à n+1, on retrouve l'inégalité demandé

3) Pour la 3) je ne sais pas faire, je pense que Un= (n+1)/2 et qu'ensuite on doit retrouvé ln(n+1)<= (n+1/)2<= ln(n)+1 mais je n'y arrive pas.

4) cette question là non plus, j'y arrive pas puisque je ne sais pas à quoi vaut (Un) de la question (3)

Sarac

Invité

Re : Des dérivés,primitives,... niveau terminal/licence 1

Merci par avance

Fred

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Messages : 7 352

Re : Des dérivés,primitives,... niveau terminal/licence 1

Bonjour,

  Pour la 3), il faut utiliser les inégalités de la question 2. Prenons par exemple l'inégalité de droite.
Elle te donne
[tex]\ln(2)-\ln(1)\leq \frac 11[/tex]
[tex]\ln(3)-\ln(2)\leq \frac 12[/tex]
[tex]\vdots[/tex]
[tex]\ln(n+1)-\ln(n)\leq \frac 1n[/tex]
Si tu sommes toutes ces inégalités, à droite tu vas trouver [tex]u_n[/tex], et à gauche les termes vont se "télescoper" deux à deux, et tu vas trouver la moitié de l'inégalité que l'on te demande.
Pour l'autre moitié, il faut partir de l'autre partie de l'inégalité....

Pour la question 4), le résultat de la question 3) te donne déjà que [tex](v_n)[/tex] est positive.
Pour démontrer qu'elle est décroissante, je calculerai bien [tex]v_{n+1}-v_n[/tex]...

F.