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Cirdec

Invité

limite et nombre d'or

Bonjour,
Il me faut démontrer ce que vaut le réel qui correspond en fait (je l'ai vu sur Internet) à la fraction continue la plus simple,
notée [ 1 , 1 , 1 , 1 , ....] s'il existe ?

Je l'ai modélisé par la suite (U(n)) telle que U(0) = 1 et U(n+1) = 1 + 1/(U(n)) et le problème consiste à chercher la limite éventuelle de (U(n)).

Donc, si la limite de (U(n)) existe, elle vérifie nécessairement l'équation y = 1 + 1/y qui n'admet qu'une solution positive : le nombre d'or, appelons-le z, 
et ensuite par récurrence,
j'ai montré que | U(n) - z | < (1/z)^n  | U(0) - z |  et enfin par passage à la limite que  |U(n) - z | tend vers 0, donc que la limite de U(n) est bien z.

Est-on obligé de faire ce raisonnement, ou peut-on tout de suite dire ( même si l'escalier est "infini") que le réel qu'on cherche vérifie
y = 1 + 1/y donc le réel cherché est le nombre d'or et c'est fini  ???
Merci,
Cordialement,
C.

freddy

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Re : limite et nombre d'or

Salut,

poser la question c'est y répondre. Une technique mathématique astucieuse consiste à dire que si la limite existe, alors elle vérifie telle équation.
Ensuite, il convient de s'assurer que c'est bien la limite de la suite concernée.

Un très joli sujet, à l'origine des fractales et du chaos, est la limite de la suite réelle définie sur le compact [0, 1] dans lui-même, de la forme [tex]x_{n+1}=\alpha x_n\times (1-x_n)[/tex], avec [tex]0 \le \alpha \le 4[/tex].

Observe qu'on peut calculer sa limite et pourtant, si tu fais son graphe, tu verras qu'elle a un cheminement assez bizarre selon certaines valeurs du paramètre [tex]\alpha[/tex] pour converger vers sa limite supposée.

Dernière modification par freddy (11-11-2015 22:57:21)