Forum de mathématiques - Bibm@th.net

Mailyssa

Invité

Tableau de variation sur domaine de definition

Bonjour, j'ai un DM à rendre pour lundi et après de très nombreuses tentatives, je n'y arrive définitivement pas.

Voici l'énoncé :
Dans le plan muni d'un repère orthonormé, on considère la courbe représentative Cf de la fonction f définie sur [-1.5;+ infini[ par f(x)= raciné carré de 2x+3 et le point A est un point de l'axe des abcisses. X est un nombre réel positif et M est le point de Cf d'abcisse x.
On souhaite trouver les coordonnées du point M tel que AM soit minimal. On admet que AM est minimale si AM² l'est aussi. g est la fonction qui au nombre x associe le reél AM². Donc g(x)=AM².

Je dois trouver le domaine de définition de f(x) et de g(x). Pour f j'ai trouvé Df =[-3/2 ; +infini[ et pour Dg ]-inifni ; -3/2[ mais je n'en suis pas sûre.
J'ai ensuite dû démontrer que g(x) = x²-8x+28.
Et maintenant d'après le tableau de variation de g sur son domaine de définition je dois en déduire les coordonées exactes du point M le plus proche de A.
Je ne comprends pas comment je peux faire, j'ai fait le tableau de variation mais c'est tout.
Pouvez-vous m'aider s'il vous plait ?

Je dois aussi calculer la distance AM correspondante mais je n'ai aucune idée de quelle formule utiliser ( je n'ai pas fait ça en seconde)

Merci d'avance

yoshi

Modo Ferox

Inscription : 20-11-2005

Messages : 17 405

Re : Tableau de variation sur domaine de definition

Bonjour,

Df ok...
Pour Dg, c'est une autre affaire.
De quelles autres infos disposes-tu sur la position du point A ? Son abscisse est-elle connue ?
Je vais supposer que non. Soit [tex]a \in \mathbb{R}[/tex] cette abscisse.

Alors, si j'ai bien compris ton problème, on a ce qui suit.
On a A(a ; 0)  et  [tex]M(x\;;\,\sqrt{2x+3})[/tex]
[tex]AM^2= (x_M-x_A)^2+(y_M-y_A)^2[/tex]
[tex]g(x) =(x-a)^2+(\sqrt{2x+3}-0)^2=x^2-2ax+a^2+2x+3[/tex]
Soit [tex]g(x)=x^2-2(a-1)x+a^2+3[/tex]

Et là, provisoirement, je suis face à un paradoxe (je l'avais déjà, hier soir, de tête dans mon lit... Par écrit, ce matin, ce n'est pas mieux !)
Dg=Df.
Le minimum est atteint pour x = a-1, ce qui tendrait à dire que [tex]a \in[-\frac 1 2\;;\;+\infty[[/tex]

Pourtant graphiquement, si je prends a = -10, par exemple, le minimum est atteint pour [tex]M\left(-\frac 3 2\;;\;0\right)[/tex]
Or, le calcul me dit x=-11 ce qui est impossible...

En relisant l'énoncé, plus exactement celui que tu nous a donné, je vois :

X est un nombre réel positif

J'avais cru que X et x c'était la même chose.
A la relecture, il semble bien que non !
Alors voilà donc cet X qui arrive comme un cheveu sur la soupe, au détour d'une phrase et dont on ne parle plus après...
Qu'est-ce donc que ce X ?
En attendant que tu vérifies ton énoncé, j'arrête là...
Si ce X est l'abscisse de A, cette notation est malsaine parce que de nature à engendrer des confusions...

@+

Mailyssa

Invité

Re : Tableau de variation sur domaine de definition

Bonjour, merci d'avoir répondu.
En effet, x = X, pardon pour cette confusion.
Pour A, dans l'énnoncé je n'ai aucune info, en revanche sur le graphique A ( 5 ;0). je pense donc que c'est à prendre en compte.

yoshi

Modo Ferox

Inscription : 20-11-2005

Messages : 17 405

Re : Tableau de variation sur domaine de definition

Bonjour,

on considère la courbe représentative Cf de la fonction f définie sur [tex]\left[-\frac 3 2\;;\;+\infty\right[[/tex] par [tex]f(x)= \sqrt{2x+3}[/tex]

Donc [tex]x \in \left[-\frac 3 2\;;\;+\infty\right[[/tex]

Or, maintenant tu dis que X = x, donc

X est un nombre réel positif

doit être lu :

[tex]x[/tex] est un nombre réel positif

Il faudrait savoir ! Si x est un réel positif la fonction f est définie  par conséquent sur [tex]\left[0\;;\;+\infty\right[[/tex] et non plus sur [tex]\left[-\frac 3 2\;;\;+\infty\right[[/tex]
Pas clair !!!

A(5;0)
Dans ce cas, dans mes calculs je remplace a par 5 et j'obtiens :
[tex]g(x)=x^2-2(5-1)x+25+3[/tex]
Soit :
[tex]g(x)=x^2-8x+28[/tex]
Tiens donc ! Y a de l'écho :

J'ai ensuite dû démontrer que g(x) = x²-8x+28.

Ce serait quand même plus simple d'avoir la copie conforme de l'énoncé au lieu de petits morceaux..
Cette parabole qui a un coefficient de x² positif est donc d'abord décroissante puis croissante : l'abscisse de son sommet sera bien l'abscisse d'un minimum.
D'où abscisse cherchée : [tex]x_M = 4[/tex]  et [tex]AM^2=g(4)=16-32+28 = 12[/tex], [tex]AM =2\sqrt 3[/tex]
L'ordonnée de M est f(4) soit [tex]\sqrt{8+3}=\sqrt{11}[/tex]

D'où [tex]M(4\;;\;\sqrt{11})[/tex]

@+

Mailyssa

Invité

Re : Tableau de variation sur domaine de definition

http://zupimages.net/viewer.php?id=15/44/oceq.png voici l'énoncé. Désolé pour les erreurs..

Dans cet enoncé il y a également une erreur puisque f est définie sur [-1.5 ; + infini [.

J'ai bien trouvé les mêmes coordonnées pour M mais pour la longueur de AM je trouve racine de 4²-8*4+28 soit racine de 12

Mailyssa

Invité

Re : Tableau de variation sur domaine de definition

Il est donc bien écrit dans le même énoncé que x est un nombre réel positif et également que f est défini sur [-1.5 ; + infini[..

yoshi

Modo Ferox

Inscription : 20-11-2005

Messages : 17 405

Re : Tableau de variation sur domaine de definition

Bonjour,

mais pour la longueur de AM je trouve racine de 4²-8*4+28 soit racine de 12

Il n'y a pas de mais qui tienne :
[tex]\sqrt{12}=\sqrt{4\times 3}=\sqrt{4}\times\sqrt 3 =2\sqrt 3[/tex]
Tu avais oublié ?

Je vais déjeuner et je reviens pour la 2e partie...

@+

Mailyssa

Invité

Re : Tableau de variation sur domaine de definition

Bonjour,
Effectivement, c'est vrai qu'avec la fatigue ( presque deux semaines que je suis dessus alors que je sais que c'est simple !) j'en ai oublié qu'on pouvait simplifier une racine..
Je trouve donc la même distance, merci

Pour la deuxième partie, à la première question j'ai réutilisé la formule AB²=(xB-xA)²+(yB-yA)², j'ai donc trouver g(x) = x²+3x+4.
Pour les coordonnées de M j'ai trouvé
M ( -b/2a ; racine de 2x+3 )
M ( -3/2 ; racine  de 2*(-3/2)+3 )
Soit M ( -3/2 ; 0 ).

Pour la distance AM correspondante j'ai utilisé la même méthode que la partie A, donc :
AM² = x²+3x+4
= (-3/2)² + 3*(-3/2) + 4
=1.75.

NORMALEMENT, si j'ai bien raisonné hier soir, tout devrait être juste ( peut-être une erreur bête de calcul mais je vérifirai tout )

Merci de m'avoir répondu

yoshi

Modo Ferox

Inscription : 20-11-2005

Messages : 17 405

Re : Tableau de variation sur domaine de definition

Bonjour,

J'y réfléchis par intermittence depuis ce matin...
Tes résultats me surprennent puisque :
1. Il est spécifié que dans cette partie tous les résultats dépendent de a...
2. L'énoncé précise qu'il faut étudier 2 cas.

Donc, ce que tu as fait ne colle pas !
Cas n° 1       [tex]a\geq -0,5[/tex]
Cas n° 2  [tex]-1,5\leq a < -0,5[/tex]

Pourquoi ?
Avec  [tex]g(x)=x^2-2(a-1)x+a^2+3[/tex], le sommet S de la parabole a pour abscisse [tex]x = a-1[/tex].
Or [tex]x \geq -1,5[/tex], donc [tex]a\geq -0,5[/tex]

Pour [tex]a \geq -0,5[/tex] la parabole passe par un sommet S dont l'abscisse est un minimum pour la courbe Cg...
Moyennant quoi [tex]AM^2 = (a-1)^2-2(a-1)(a-1)+a^2+3=-(a-1)^2+a^2+3=2a+2[/tex]  et  [tex]AM =\sqrt{2(a+1)}[/tex]
et [tex]y_M=f(a-1)=\sqrt{2(a-1)+3}=\sqrt{2a+1}[/tex]
Vérification pour a = 5 :
[tex]AM=\sqrt{2\times (5+1)}= \sqrt{12}[/tex]
[tex]y_M= \sqrt{2\times 5+1}=\sqrt{11}[/tex]
C'est bon !

Ce qui me préoccupe, c'est le cas [tex]-1,5\leq a <-0,5[/tex]
Si tu prends un a dans cet intervalle (par exemple a=-1) et que tu traces Cg, tu vas t'apercevoir que le sommet de la courbe a une abscisse inférieure à -1,5 ce que confirme le x = a-1...
Dans cette zone, on "joue" sur les mots :
en fait tu cherches le minimum de la longueur AM et non le minimum de la parabole obtenue pour x = abscisse du sommet...
La longueur AM minimum, dans cette zone est obtenue pour x = -1,5 et AM= a+1,5...
Quelque chose - de simple sûrement - m'échappe depuis ce matin qui m'empêche de prouver ce résultat, contrôlé avec GeoGebra...

Je ne lâche pas le morceau...

@+

yoshi

Modo Ferox

Inscription : 20-11-2005

Messages : 17 405

Re : Tableau de variation sur domaine de definition

Re,

Je crois que j'ai trouvé..
Pour un a donné, l'ordonnée  (donc AM²) de tout point de g telle que [tex]g(x)=x^2-2(a-1)x+a^2+3[/tex] est décroissante pour x décroissant de [tex]+\infty[/tex] à  a-1.
Si a = -0,5, alors x =-1,5 et on a AM=1=-0,5+1,5
Si a <-0,5 alors a-1<-1,5 d'où x < -1,5 et on  sort de Dg ce qui est impossible donc x reste bloqué à -1,5, A et M sont sur l'axe des abscisses tandis que A se rapproche de M donc AM = 1,5+a.

C'est assez mal dit, mais c'est ça...

@+

yoshi

Modo Ferox

Inscription : 20-11-2005

Messages : 17 405

Re : Tableau de variation sur domaine de definition

Re,

Je vais essayer de dissiper les nuées..
Les courbes représentatives des fonctions g telles que [tex]g(x)=x^2-2(a-1)x+a^2+3[/tex] sont des paraboles. A ce titre, ces fonctions elles admettent un extremum obtenu pour l'abscisse du sommet S desdites paraboles, sommet de coordonnées [tex](a-1\;;\;2a+2)[/tex].

Il se trouve que cet extremum est très précisément le minimum des fonctions g. On cherche à déterminer la valeur minimale de AM² : j'utilise cette expression pour éviter la confusion entre minimum de la fonction et minimum de AM².

Pourquoi ce seuil de a=-0,5 ? L'abscisse [tex]x_S[/tex] du sommet S est [tex]x = a-1.[/tex], or [tex]x\geq -1,5[/tex], donc la valeur minimale de a pour que [tex] x_S\in D_g[/tex] est a=-0,5.
Si a =-0,5, la valeur minimale de AM² coïncide avec le minimum de g.
Pour [tex]a \in ]-0,5\;;\;+\infty[[/tex], lorsque x tend vers a-1, donc que M tend vers le point [tex](-1,5\;;\;0)[/tex] de [tex]C_f[/tex], AM2² décroît et tend vers 2a+2 (donc 2*(-0.5)+2 = 1). Et si [tex]-1,5\leq x_M<a-1[/tex] et que x_M tend vers -1,5 par valeurs inférieures à a-1, AM² croît de nouveau...
Exemple pour a =0.
[tex]x_M=-1[/tex] et [tex]g(-1)=2[/tex] d'où [tex]AM=\sqrt 2[/tex]
x       -1.4    -1.2     -1   -0.8      -0.6     -0.4
g(x)    2.16    2.04     2    2.04      2.16    2.36

Si a<-0,5, alors [tex]x_S<-1,5[/tex] et, g croissante sur [-1.5 ; -0.5[ , décroissante avant
Donc la valeur minimale de AM² est atteinte pour [tex]x_M=-1,5[/tex] quel que soit a tel que [tex]-1,5\leq a < -0,5[/tex]
Avec [tex]x_M=-1,5[/tex] on a [tex]f(-1,5)=0[/tex] : M et sur l'axe des abscisses et AM = a+1,5
Exemple pour a = -0,8
x        -2     -1.8     -1,6      -1,5      -1,4      -1,2      -1
g(x)   0.44    0.4      0.44    [tex]0,49[/tex]     0,56     0.76     1.04
pour x =-1.5  AM²=0.49  et AM = 0.7 = -0.8 +1.5

@+