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Anonyme007

Invité

Anneau intègre.

Bonjour,

Soit [tex]A[/tex] un anneau commutative unitaire non intègre.
Par quelle relation d'équivalence ou par quel objet [tex]I[/tex] peut -on quotienter [tex]A[/tex] pour que [tex]A/I[/tex] soit intègre ?

Merci d'avance.

Fred

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Re : Anneau intègre.

Salut,

  Deux points. D'abord, on quotiente un anneau [tex]A[/tex] par un idéal [tex]I[/tex] pour que [tex]A/I[/tex] garde une structure d'anneau. Ensuite, pour que [tex]A/I[/tex] soit intègre, il est nécessaire et suffisant de quotienter par un idéal premier.

Voir l'exercice 18 de cette feuille.

F.

Anonyme007

Invité

Re : Anneau intègre.

Bonjour Fred :

J'aimerais savoir, si au lieu de quotienter un anneau [tex]A[/tex] par un idéal premier [tex]\mathfrak{p}[/tex] qui le rend effectivement intègre, est ce que cela revient de même à  quotienter [tex]A[/tex] par une relation : [tex] \sim [/tex] : ( je ne sais pas à priori, si elle est une relation d'équivalence ou non ), définie par :
[tex]\forall a,b \in A \backslash \{ 0 \} [/tex] : [tex]a \sim b \ \ \Longleftrightarrow \ \ ab = 0[/tex]
Est ce que ces deux points de vues coïncident ?
Quelle est la différence entre : [tex]A/I[/tex] et [tex]A/ \sim[/tex] ?

Merci d'avance.

Fred

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Re : Anneau intègre.

Tu as posé toi même la première limitation. Il n'y a aucune raison pour que ce soit une relation d'équivalence (par exemple, si ton anneau est déjà intègre, aucune élément non nul n'est en relation avec lui-même...).

Anonyme007

Invité

Re : Anneau intègre.

Ok, est ce que, dans un anneau intègre, tous les idéaux sont premiers ou bien aucun idéal n'est premier ? Je suis perdu. :-D
Merci d'avance.

Fred

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Re : Anneau intègre.

Dans un anneau intègre, il peut y avoir des idéaux premiers et des idéaux qui ne sont pas premiers.
Par exemple, dans [tex]\mathbb Z[/tex], [tex]2\mathbb Z[/tex] est premier, mais [tex]4\mathbb Z[/tex] ne l'est pas.

F.

Anonyme007

Invité

Re : Anneau intègre.

Merci Fred.  :-)