Forum de mathématiques - Bibm@th.net

Minimaths

Invité

Dérivabilité/ Extremum

Bonjour à tous, j'aurais besoin d'un peu d'aide s'il vous plaît.
Il faut répondre par vrai ou faux et selon la réponse, faire une démonstration ou donner un contre-exemple :

_ Si une fonction f :[0,1] dans R est bornée, elle admet un maximum sur [0,1].

_ L'inégalité cos(x) - 1 <= x est vraie pour tout x appartient à R.

Je pense que les 2 sont fausses mais je n'en suis pas sûr du tout.
Merci à ceux qui prendront leur temps pour m'aider ;)

Mouhcine

Membre

Inscription : 23-09-2014

Messages : 106

Re : Dérivabilité/ Extremum

Bonjour,
1) Fausse, prenons par exemple la fonction définie par
[tex]
f(x) = \begin{cases}
x, \, \mbox{si} \, x\neq 1\\
0, \, \mbox{si} \, x=1
\end{cases}
[/tex]
Le supremum de l'ensemble [tex]\{f(x) / x\in [0,1]  \}[/tex] est égale à [tex]1[/tex], mais il n'y a pas de [tex]a\in [0,1][/tex] avec [tex]f(a)=1[/tex].
2) L'inégalité [tex]cos(x) - 1 \leq x [/tex] est fausse, prenant par exemple [tex]x= -\frac{\pi}{2}[/tex], et si tu veut aller plus loin, étudier la fonction [tex]g(x)=cos(x) -x -1[/tex]  sur [tex]\mathbb R[/tex].
Cordialement

Dernière modification par Mouhcine (17-10-2015 16:29:56)

Minimaths

Invité

Re : Dérivabilité/ Extremum

Pour la question 1) : Supremum c'est l'équivalent de maximum ?

2) Je comprend pas car quand remplace pour x=−π2  dans l'inéquation, ça fait -1 <= −π2  or cela est vrai donc je ne comprend pas trop ce contre-exemple :/

Fred

Administrateur

Inscription : 26-09-2005

Messages : 7 349

Re : Dérivabilité/ Extremum

Pour le 2eme tu peux faire comme Mouhcine te dit en étudiant sa fonction quand [tex]x\to -\infty[/tex]

Pour le 1er exemple ce que te dit Mouhcine est que la fonction est majoree par 1 et qu'on ne peut pas faire mieux. Mais 1 n'est pas atteint et n'est donc pas un maximum.

Minimaths

Invité

Re : Dérivabilité/ Extremum

Ah autant pour moi je me suis trompé dans ma précédente phrase ! Merci beaucoup pour vos explications !:)