Forum de mathématiques - Bibm@th.net

Anonyme007

Invité

Matrices

Salut :

Pour tout entier [tex]n \geq 1[/tex], on note : [tex]\mathcal{M}_n ( \mathbb{C} )[/tex] l'anneau des matrices carrées à n lignes et n colonnes à coefficients dans [tex]\mathbb{C}, \mathcal{M}_n ( \mathbb{Z} )[/tex] le sous anneau de [tex]\mathcal{M}_n ( \mathbb{C} )[/tex] formé des matrices à coefficients dans [tex]\mathbb{Z}[/tex], et [tex]C_n ( \mathbb{Z} )[/tex] l'ensemble des valeurs colonnes à n lignes à coefficients dans [tex]\mathbb{Z}[/tex].

Soit [tex]A \in \mathcal{M}_n ( \mathbb{C} )[/tex] :
Montrer que : [tex]A \in \mathcal{M}_n ( \mathbb{Z} )[/tex] si et seulement si pour tout [tex]X \in C_n ( \mathbb{Z} )[/tex], on a : [tex]AX \in C_n ( \mathbb{Z} )[/tex].

Aidez moi svp, je vois mal comment traiter cette question. C'est une question qui a été posée à l’examen d’agrégation de l'année : [tex]2005[/tex].

Merci d'avance.

Fred

Administrateur

Inscription : 26-09-2005

Messages : 7 352

Re : Matrices

Salut,

  Un sens est trivial. Pour l'autre, as-tu pensé à multiplier par tous les vecteurs de la base canonique???
Tu retrouveras tous les coefficients de ta matrice.

F.

Anonyme007

Invité

Re : Matrices

Ah oui, c'est vrai, merci beaucoup Fred.  :-)
Si on note [tex]X_i[/tex] la colonne partout nulle sauf à la i-ème position où elle est égale à [tex]1[/tex].
Alors, [tex]\forall i,j = 1,...,n [/tex] : [tex]A = ( ^t X_i A X_j )_{ i,j = 1 ,...,n } \in \mathcal{M}_n ( \mathbb{Z} )[/tex].