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User07

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réduction des endomorphismes - banque oral CCP

Bonjour, j'ai travaillé un oral de ccp 2015 et j'ai trouvé une difficulté de comprendre une étape, voilà: j'ai calculé le polynôme caractéristique
d'une matrice carrée d'ordre 3, j'ai trouvé que la matrice admet la valeur propre 0 d'ordre de multiplicité 3, alors je dois monter que la matrice est diagonalisable dans l'ensemble des matrices réelles d'ordre 3.

Ce qu'il ont proposé dans la solution c'est le fait que cette matrice est semblable à la matrice nulle, et c'est cela que je n'est pas compris?

S'il vous plait est ce que je peut savoir pourquoi la matrice est semblable à la matrice nulle sachant qu'elle admet la valeur propre 0 d'ordre de multiplicité 3??

freddy

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Re : réduction des endomorphismes - banque oral CCP

Salut,

parce que dans la base des vecteurs propres, la matrice est une matrice diagonale dont les valeurs sur la diagonale principale sont les valeurs propres associées aux vecteurs propres. Et comme les trois valeurs propres sont nulles, la matrice est nulle.

Fred

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Re : réduction des endomorphismes - banque oral CCP

Bonjour,

Si tu ne nous donnes pas l'énoncé complet de l'exercice, il est difficile pour nous de t'aider.
Par exemple, la matrice [tex]M=\left(\begin{array}{ccc}0&0&1\\0&0&0\\0&0&0\end{array}\right)[/tex]
admet 0 comme valeur propre de multiplicité 3. Mais elle n'est pas diagonalisable.

Fred.

User07

Invité

Re : réduction des endomorphismes - banque oral CCP

Bonjour, voilà le lien c'est un fichier PDF d'ou j'ai pris l'exercice, c'est l'exercice 67, dans la solution, j'ai pas compris le deuxième cas:

http://www.prepamag.fr/articles/news/da … rcices.pdf

Merci.

Fred

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Re : réduction des endomorphismes - banque oral CCP

Re-

  En réalité, ce que dit le corrigé n'est pas exactement ce que tu mentionnais dans ton premier post.
Le corrigé dit : "si une matrice M est diagonalisable, et si sa seule valeur propre est 0, alors M est la matrice nulle".

La preuve de cela suit ce que disait Freddy plus haut :
si M est diagonalisable, alors M=PDP^{-1} avec D diagonale.
Puisque 0 est la seule valeur propre possible de M, D, qui est constituée des valeurs propres de M, est la matrice nulle.
Donc M est aussi nulle.

F.

User07

Invité

Re : réduction des endomorphismes - banque oral CCP

Bonjour, je m'excuse, j'ai pas bien lu ce qui est dans le corrigé, maintenant j'ai parfaitement compris.
Merci infiniment, merci à vous aussi Freddy.