Forum de mathématiques - Bibm@th.net
Vous n'êtes pas identifié(e).
- Contributions : Récentes | Sans réponse
#1 04-01-2015 20:23:11
- htina
- Membre
- Inscription : 20-10-2014
- Messages : 172
produit scalaire
Bonsoir,
On pose [tex]B=(0,2\pi)^d[/tex], et soit [tex]u \in L^2(B)[/tex].
si [tex]\{\psi_j\}[/tex] est une base orthonormale de [tex]H^1_{per}(B)[/tex] , et une base orthogonale dans [tex]L^2(B)[/tex].
On considère l'application $F$ définie de [tex]\mathbb{R}^n[/tex] à valeurs dans [tex]\mathbb{R}^n[/tex], par:
[tex]\{\eta_j\}_{1\leq j \leq n} \to u=\sum_j \eta_j \psi_j \to \{(u,\psi_k)_{L^2}\}_{1 \leq k \leq n}.[/tex]
Ma question est: est- ce qu'il est possible de montrer que
[tex](F(\eta') - F(\eta'')).(\eta' - \eta'') = (u'-u'',u'-u'')_{L^2(B)}[/tex]?
Merci beaucoup.
Dernière modification par htina (04-01-2015 22:08:17)
Hors ligne
#5 04-01-2015 23:02:23
- htina
- Membre
- Inscription : 20-10-2014
- Messages : 172
Re : produit scalaire
En fait, pour tout [tex]1\leq j \leq n[/tex], [tex]F(\eta_j)= (u,\psi_k)_{L^2}[/tex] où [tex]1 \leq k \leq n[/tex], avec [tex] u=\sum_j \eta_j \psi_j[/tex] .
C'est ce qui écrit.
et ma question est: si on prend[tex] \eta'[/tex] et [tex]\eta''[/tex] quelconque de \R^n, comment écrire[tex] (F(\eta') - F(\eta'')).(\eta'-\eta'')[/tex], est-ce que c'est égale à [tex](u'-u'', u'-u'')_{L^2}[/tex]?
Dernière modification par htina (04-01-2015 23:02:55)
Hors ligne
#6 05-01-2015 09:25:10
- htnina pas logé
- Invité
Re : produit scalaire
Pour simplifier, que vaut [tex](u'-u'',\psi)_{L^2} . (\eta' - \eta'')[/tex]? avec [tex]\psi=((\psi)_k)_{k=1,...,n}[/tex] et [tex]\eta=(\eta_k)_{k=1,...,n}[/tex] et où [tex](\psi_j)_k[/tex] est une base orthogonale dans L^2
#7 05-01-2015 09:32:34
- htnina pas logé
- Invité
Re : produit scalaire
et [tex]u=\sum_j \eta_j \psi_j[/tex]
#8 05-01-2015 09:41:01
- Fred
- Administrateur
- Inscription : 26-09-2005
- Messages : 7 349
Re : produit scalaire
Re-
Il suffit de calculer tranquillement.
On a [tex]F(\eta)=( \eta_1 \|\psi_1\|^2,\dots,\eta_k \|\psi_k\|^2) [/tex].
Ensuite, tu calcules simplement des produits scalaires dans [tex]\mathbb R^n[/tex]...
F.
Hors ligne
#9 05-01-2015 10:11:07
- htnina pas logé
- Invité
Re : produit scalaire
S'il vous plaît, montrez moi commernt écrire [tex]F(\eta)[/tex] de cette façon, et comment écrire le produit [tex](F(\eta') - F(\eta'), \psi_{L^2}.(\eta' - \eta'')[/tex], et rmerci beaucoup.
En faisant le produit scalaire
[tex]F(\eta')-F(\eta'')).(\eta' - \eta'')\\
=((\eta'_1 - \eta'_1)||\psi_1 ||^2, \eta'_2 - \eta'_2)||\psi_2 ||^2;.....,\eta'_n - \eta'_n)||\psi_n ||^2). ((\eta'_1-\eta''_1), (\eta'_2-\eta''_2),..., (\eta'_n-\eta''_n))
[/tex]
[tex]= \sum_{j=1}^n (\eta'_j - \eta''_j)^2 ||\psi_j||^2_{L^2}[/tex]
mon problème est comment arriver à [tex](u'-u'', u'-u'')[/tex]?
Dernière modification par yoshi (05-01-2015 11:29:00)
#10 05-01-2015 14:43:34
- Fred
- Administrateur
- Inscription : 26-09-2005
- Messages : 7 349
Re : produit scalaire
Parce que la famille [tex](\psi_k)[/tex] est orthogonale.
On a donc, pour chaque k, [tex](u,\psi_k)=\sum_{j}\eta_j (\psi_j,\psi_k)=\eta_k \|\psi_k\|^2 [/tex]. Le calcul est exactement similaire pour [tex](u'-u'',u'-u'')[/tex].
Hors ligne
#11 05-01-2015 16:33:36
- htina
- Membre
- Inscription : 20-10-2014
- Messages : 172
Re : produit scalaire
Pour chaque [tex]k[/tex], on a: [tex](u',\psi_k)=\sum_j (\psi_j,\psi_k)=\eta'_k||\psi_k||^2[/tex] et [tex](u'',\psi_k)=\eta''_k||\psi_k||^2[/tex]
Ainsi,
[tex](u'-u'',u'-u'')_{L^2(B)} = (\eta'_k-\eta''_k, \eta'_k - \eta''_k) ||\psi_k||^2[/tex]
ca ne donne pas[tex] \sum_{j=1}^n (\eta'_j-\eta''_j)^2 ||\psi_j||^2[/tex], je ne comprend pas pourquoi
[tex]F(\eta')-F(\eta'')).(\eta' - \eta'') = (u'-u'',u'-u'')_{L^2(B)}[/tex].
En effet, si j'essaye d'écrire [tex](u'-u'',u"-u''); [/tex] j'obtiens ceci:
[tex](u'-u'',u'-u'')= (u'-u'',\sum_j \eta'_j \psi_j - \sum_j \eta''_j \psi_j) = (u'-\sum_j \eta'_j \psi_j) - (u'',\sum_j \eta''_j \psi_j)[/tex]
[tex]= \sum_j \eta'_j (u',\psi_j) - \sum_j \eta''_j (u'',\psi_j)[/tex]
et comme on a:
[tex](u',\psi_j)=\sum_k \eta'_k (\psi_k,\psi_j) = \eta'_j ||\psi_j||^2[/tex] et [tex](u'',\psi_j) = \sum_k \eta''_k (\psi_k,\psi_j) = \eta''_k ||\psi_j||^2[/tex]
,
alors
[tex](u'-u'',u'-u'')= \sum_j(\eta'_j)^2 ||\psi_j||^2 - \sum_j (\eta''_j)^2 ||\psi_j||^2 = \sum_j [(\eta'_j)^2 - (\eta'_j)^2] ||\psi_j||^2[/tex]
Mais ce n'est pas ce qu'il faut trouver. Comment faire? s'il vous plaît.
Merci beaucoup.
Dernière modification par htina (05-01-2015 18:07:29)
Hors ligne
#13 05-01-2015 18:59:51
- htina
- Membre
- Inscription : 20-10-2014
- Messages : 172
Re : produit scalaire
Merci infiniment, voici ce qu'on trouve
[tex](u'-u'',u'-u'')=(u'-u')-(u',u'')-(u'',u')+(u'',u'')[/tex]
[tex]=(u',\sum_j \eta'_j \psi_j) - (u',\sum_j \eta''_j \psi_j) - (u'',\sum_j \eta'_j \psi_j) + (u'',\sum_j \eta'' \psi_j)[/tex]
On sait que:
[tex](u',\psi_j)=\eta'_j ||\psi_j||^2[/tex], et [tex](u'',\psi_j)=\eta''_j||\psi_j||^2[/tex];
ainsi,
[tex]= \sum_j \eta'_j (u',\psi_j) - \sum_j \eta''_j (u',\psi_j) - \eta'_j (u'',\psi_j) + \sum_j \eta''_j (u'',\psi_j)[/tex]
[tex]\sum_j \eta'_j \eta'_j ||\psi_j||^2 - \sum_j \eta''_j \eta'_j ||\psi_j||^2 - \sum_j \eta'_j \eta''_j||\psi_j||^2 + \sum_j \eta''_j \eta''_j ||\psi_j||^2[/tex]
[tex]= \sum_j (\eta'_j)^2 ||\psi_j||^2 + \sum_j (\eta''_j)^2 ||\psi_j||^2 - 2 \sum_j \eta''_j \eta'_j ||\psi_j||^2[/tex]
[tex]= \sum_j (\eta'_j - \eta''_j)^2 ||\psi_j||2.[/tex]
Ainsi, on conclut que
[tex](F(\eta') - F(\eta'')). (\eta'- \eta'') = (u'-u'',u'-u'')_{L^2} = ||u'-u''||^2_{L^2}[/tex].
Autre question s'il vous plaît. Est-ce qu'on peut conclure que
[tex]||u'-u''||^2_{L^2} \geq |\eta'-\eta''|^2[/tex]? c'est - à dire, est ce qu'on peut avoir que [tex](F(\eta') - F(\eta'')).(\eta' - \eta'') \geq |\eta' - \eta''|^2[/tex]?
Merci beaucoup.
Dernière modification par htina (05-01-2015 19:13:58)
Hors ligne
#15 05-01-2015 19:16:40
- htina
- Membre
- Inscription : 20-10-2014
- Messages : 172
Re : produit scalaire
On sait seulement que [tex]\psi_j[/tex] est une base orthogonale de [tex]L^2(B)[/tex], et qu'elle est orthonormale dans [tex]H^1_{per}(B)[/tex].
1- Aussi, ce qui nous intéresse c'est de voir si [tex](F(\eta') - F(\eta'')). (\eta' - \eta'') \geq |\eta' - \eta''|^2[/tex]. puisque il est égale à quelque chose de positive, ca ne peut pas aider? Sinon, quelle relation on peut trouver entre [tex]||u'-u''||^2[/tex] et[tex] |\eta'-\eta''|^2[/tex] ?
est-ce qu'il est correcte alors, de dire que[tex] ||u'-u''||^2 = C |\eta'-\eta''|^2[/tex] avec[tex] |\eta' - \eta''|^2 = \sum_j |\eta'_j - \eta''_j|^2[/tex] et [tex]C=||\psi_j||^2[/tex]?
Merci beaucoup.
Dernière modification par htina (05-01-2015 21:44:06)
Hors ligne
#16 05-01-2015 21:44:18
- htina
- Membre
- Inscription : 20-10-2014
- Messages : 172
Re : produit scalaire
2- En fait, l'objectif est de montrer que F est monotone. Alors si on montre que[tex] (F(\eta') - F(\eta'')).(\eta' - \eta'')[/tex] est monotone. Ma question est-ce que le fait que F soit monotone suffit à dire que[tex] |\eta' - \eta''| \leq |F(\eta')- F(\eta'')|[/tex] ?
Merci beaucoup.
Hors ligne
#17 05-01-2015 21:54:15
- Fred
- Administrateur
- Inscription : 26-09-2005
- Messages : 7 349
Re : produit scalaire
est-ce qu'il est correcte alors, de dire que[tex] ||u'-u''||^2 = C |\eta'-\eta''|^2[/tex] avec[tex] |\eta' - \eta''|^2 = \sum_j |\eta'_j - \eta''_j|^2[/tex] et [tex]C=||\psi_j||^2[/tex]?
Pas forcément, parce que est-tu sûr que [tex] \|\psi_1\|=\|\psi_2\|[/tex]???
F.
Hors ligne
#18 05-01-2015 21:54:57
- Fred
- Administrateur
- Inscription : 26-09-2005
- Messages : 7 349
Re : produit scalaire
2- En fait, l'objectif est de montrer que F est monotone. Alors si on montre que[tex] (F(\eta') - F(\eta'')).(\eta' - \eta'')[/tex] est monotone. Ma question est-ce que le fait que F soit monotone suffit à dire que[tex] |\eta' - \eta''| \leq |F(\eta')- F(\eta'')|[/tex] ?
Merci beaucoup.
Je ne sais pas ce que signifie une fonction monotone sur [tex]\mathbb R^n[/tex].
Hors ligne
#19 05-01-2015 21:58:39
- htina
- Membre
- Inscription : 20-10-2014
- Messages : 172
Re : produit scalaire
1- Alors on ne peut pas comparer [tex]||u'-u''||^2[/tex] avec [tex] |\eta'-\eta''|[/tex]?
$\psi_j$ est orthonormale dans $H^1_{per}(B)$, alors sa norme vaut 1. Non? (bon, cette base est orthogonale dans $L^2$, mais elle est orthonormale danq $H^1_{per}$,
sinon, on peut minorer avec le min de tout les [tex]||\psi_j||[/tex]?
Merci beaucoup
Dernière modification par htina (05-01-2015 22:26:09)
Hors ligne
#22 06-01-2015 18:38:47
- htina
- Membre
- Inscription : 20-10-2014
- Messages : 172
Re : produit scalaire
[tex] F[/tex] est définie de la manière suivante:
[tex]\{\eta_j\}_{1 \leq j \leq n} \to u=\sum_j \eta_j \psi_j \to \{(u,\psi_k)_{L^2}\}_{1 \leq k \leq n}[/tex]
c'est une composée de deux fonction, en fait.
ma question est, est-ce qu'on peut déduire de l'inégalité [tex](F(\eta') - F(\eta'')).(\eta' - \eta'') \geq C ||\eta'-\eta''||^2_{\mathbb{R}^n}[/tex] que[tex] |F(\eta') - F(\eta'')| \geq C_1 |\eta' -\eta''|[/tex]?
Merci beaucoup.
Dernière modification par htina (06-01-2015 21:10:18)
Hors ligne