Forum de mathématiques - Bibm@th.net

mad83

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Petit souci théorème d'Abel.

Bonsoir,

Je bute sur une question qui me paraît simple, mais bon...

Je dois prouver que: Σ sin(nx)/n^a  converge pour 0<a<=1
On me recommande d'utiliser le théorème d'Abel, en utilisant l'écriture complexe de sinus.

J'écris mon sinus sous forme complexe mais j'ai du mal à voir la convergence...

Quelqu'un peut-il m'aider???

Merci :-)

Fred

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Re : Petit souci théorème d'Abel.

Tu dois prouver que la somme des [tex]\sin(nx)[/tex] est bornée. Si tu écris ton sinus avec les nombres complexes (par exemple, [tex]\Im m(e^{inx})[/tex], tu vas retrouver une somme géométrique...

Fred.

Choukos

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Re : Petit souci théorème d'Abel.

Bonsoir,
J'utilise l'énoncé de la bibmath (http://www.bibmath.net/dico/index.php?a … ansfo.html) pour parler du théorème d'Abel, tu as bien le même ?
Je pose ici [tex]a_n=\sin (nx)[/tex] et [tex]b_n=\frac{1}{n^a}[/tex], pour vérifier le premier point on peut comme tu le dis écrire le sinus sous forme complexe. Après tu calcules la somme partielle :
[tex]\sum_{k=0}^{N}{\sin (kx)}=\frac{1}{2i}(\sum_{k=0}^{N}{e^{ikx}} - \sum_{k=0}^{N}{e^{-ikx}})[/tex]. C'est deux sommes géométriques, tu les calcules puis tu majores en module brutalement les numérateurs, et pour les dénominateurs (indépendants de n) tu les ré-écrits sous forme de sinus.

Edit : je suis lent !
Edit 2 : j'avais donné une mauvaise expression pour sinus...

Dernière modification par Choukos (06-11-2014 00:50:27)

mad83

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Re : Petit souci théorème d'Abel.

Bonsoir,

Je vous dis merci pour votre aide, avec un peu de retard, désolé. Je suis sûrement un peu naze des fois mais je dois reconnaître que j'ai quand même eu du mal sur cette question... J'ai plus qu'à bosser avant mon prochain DS...

Encore merci, bonne soirée.