Forum de mathématiques - Bibm@th.net

nathan :D

Invité

DEVOIR MAISON quelques soucis !

Bonjour tout le monde , je viens vous demander de l'aide car j'ai quelques difficulté à terminer mon travail , pouvez-vous m'aider s'il vous plaît

Construire un triangle ABC tel que AB= 5  AC= 4 et BAC = 60°

1) Calculez l'aire du triangle ABC
2) Calculez la longueur BC puis les mesures à 1° près des angles ABC et ACB

PS: nous sommes entrain de voir le produits scalaire

ymagnyma

Membre

Inscription : 06-10-2012

Messages : 412

Re : DEVOIR MAISON quelques soucis !

Bonjour Nathan.
Soit H le pied de la hauteur issue de C dans le triangle ABC. (Une figure va suivre).

Tu as tout pour calculer directement [tex]\vec{AB}.\vec{AC}[/tex].
Fais-le.
Puis recalcule-le via H. Ce qui te donnera AH, puis CH via un théorème bien connu du collège.
Tu pourras alors avoir l'aire de ABC. (Je crois bien qu'il y a une formule plus directe, mais qui peut se démontrer par cette méthode, alors plutôt que de retenir une formule, on la retrouve).

Là deuxième question, c'est de la trigonométrie de collège vu qu'on connait CH et BH.

En attendant tes réponses, je vais faire un zolie figure, heu jolie figure.

Dernière modification par ymagnyma (08-05-2014 15:12:45)

ymagnyma

Membre

Inscription : 06-10-2012

Messages : 412

Re : DEVOIR MAISON quelques soucis !

L'image :

nathan :D

Invité

Re : DEVOIR MAISON quelques soucis !

bonjour, desoler de ne pas t'avoir répondu plutot

voila ce que j'ai touver mais je croit que c'est un peu faux

1.  Soit H la hauteur issue de C dans le tringle ABC
      calculons AB.AC (desoler je n'arrive pas à les mettre en vecteurs)

      u.v= u x v x cos(u.v)
      AB.AC = 5X4x cos(60°)
      AB.AC= 3,5 cm

ensuite avec le frmule pour calculer l'aire du triangle jai utiliser  (base x hauteur) : 2
ce qui me donne pour l'aire 8,75 cm²

en revanche pour la questions 2 je bloque ? je ne voit pas quel formule utiliser

merci de ton aide par avance !

yoshi

Modo Ferox

Inscription : 20-11-2005

Messages : 17 404

Re : DEVOIR MAISON quelques soucis !

Salut,

Ymagnyma est absent pour le WE, je vais assurer l'interim...
Pour "mettre des vecteurs" :
- Sans prérequis sur ta machine, suivre le lien Code LateX
- Si l'environnement Java est installé sur ta machine, cliquer sur le bouton Insérer une équation...

Question 1
1. Cos(60)=1/2 d'où [tex]\vec{AB}.\vec{AC}=5 \times 4 \times \frac1 2 = 10[/tex]. D'où sort ton 3,5 ?...
    En plus le résultat d'un produit scalaire est un... scalaire, un nombre réel, donc sans unité...
2. A partir du dessin fourni, tu dois savoir aussi que [tex]\vec{AB}.\vec{AC}= AB \times AH[/tex]
    D'où 5AH = 10....
3. Maintenant tu as AH, AC et ACH rectangle en H. Alors ?
    Tu pourras vérifier que c'est juste avec [tex]CH = AC \sin(30)[/tex] puisque ACH rectangle en H.

Question 2.
   Tu as AH et AB, tu déduis BH. Connaissant CH dans le tr. BCH, rectangle en H, tu obtiens BC. Garde la valeur exacte
   Ensuite, soit il t'est expressément demandé d'utiliser les produits scalaires, soit tu es libre de la méthode.
   1. Si tu es libre.
       Avec les tr rectangles en H, BCH,  tu trouves (niveau Collège) [tex]\widehat{BCH}[/tex].
       Quant à  [tex]\widehat{ACH}[/tex] il vaut 30°, que tu ajoutes pour obtenir [tex]\widehat{BCA}[/tex].
       Pour l'autre angle : somme des angles d'un triangle = 180°.

  2. Produit scalaire.
      Calcul de [tex]\vec{CA}.\vec{CB}[/tex].
      Tu écris que [tex]\vec{CA}.\vec{CB}=\vec{CA}.(\vec{CA}+\vec{AB})[/tex]
      Tu développes.
      A partir de [tex]\vec{AB}.\vec{AC}[/tex] tu déduis [tex]\vec{CA}.\vec{AB}[/tex]
      Tu as donc maintenant [tex]\vec{CA}.\vec{CB}[/tex].
      Et tu écris que [tex]\vec{CA}.\vec{CB}=CA\times CB \times\cos(\vec{CA},\vec{CB})[/tex].
      Tu connais CA, CB et la valeur du produit scalaire, tu en déduis la valeur du cos, puis celle de l'angle.

@+

Dernière modification par yoshi (11-05-2014 18:30:35)

yoshi

Modo Ferox

Inscription : 20-11-2005

Messages : 17 404

Re : DEVOIR MAISON quelques soucis !

Re,

Ces soucis ne doivent pas trop importants : des cadets sûrement ! ^_^
Bon, plus que 2 jours - peut-être -à attendre pour savoir...
Qu'est-ce que c'est motivant !!!!

@+

nathan :D

Invité

Re : DEVOIR MAISON quelques soucis !

Bonjour,

Alors je trouve pour la derniere question grace au théorème d' Al-Kashi
a²=b²+c²-2abXcos(bac)

Pour l'angle ABC= 49° à un degré près
et pour l'angle ACB= 70° à un degré près

yoshi

Modo Ferox

Inscription : 20-11-2005

Messages : 17 404

Re : DEVOIR MAISON quelques soucis !

Re,

Oui, c'est aussi une solution, le théorème d'Al Kashi est aussi surnommé : théorème de Pythagore généralisé...
Après vérification de ton calcul :
[tex]AB^2=CA^2+CB^2-2\times CA \times CB\times \cos(\widehat{ACB})[/tex]
[tex]\Leftrightarrow \cos(\widehat{ACB})=\dfrac{CA^2+CB^2-AB^2}{2\times CA\times{CB}}[/tex]

Avec AC=4, AB=5, [tex]BC =\sqrt{21}[/tex]
j'obtiens :
[tex]\cos(\widehat{ACB})=\dfrac{16+21-25}{2\times 4\times\sqrt{21}}=\dfrac{12}{8\sqrt {21}}=\dfrac{3}{2\sqrt {21}}\approx 0.3273268353539886\cdots[/tex]
Maintenant, je prends l'arc cosinus qui me donne [tex]\approx 70.893\cdots[/tex] soit 71° à 1° près
Erreur d'arrondi chez toi !

Je t'avais proposé, via les produits scalaires :
[tex]\vec{CA}.\vec{CB}=\vec{CA}\times(\vec{CA}+\vec{AB})=CA^2+\vec{CA}.\vec{AB}=CA^2-\vec{AC}.\vec{AB} = 16-10 = 6[/tex]

Or [tex]\vec{CA}.\vec{CB}=4\sqrt{21}\cos(\widehat{ACB})[/tex]
D'où
[tex]4\sqrt{21}\cos(\widehat{ACB})=6[/tex]

[tex]\Leftrightarrow \cos(\widehat{ACB})=\dfrac{6}{4\sqrt{21}}=\dfrac{3}{2\sqrt{21}}[/tex]
Cette méthode était parfaitement correcte : aucune raison de la rejeter, donc...

@+