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labal

Invité

exponentielle

Bonjour,
on a
exp(i*2pi)=(exp(i))^2pi = 1

Pourquoi   2pi*ln(exp(i)    est-il différent de 0 si l'opération est juste ?
wolf

Fred

Administrateur

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Re : exponentielle

Bonjour,

  La raison est, que pour un nombre complexe [tex]z[/tex] et un réel [tex]a>0[/tex], on n'a pas en général
[tex]a\log(z)=\log(z^a)[/tex]

Le problème tient déjà dans la définition du logarithme complexe. Si [tex]z=re^{i\theta}[/tex], on a envie que
[tex]\log z=\log r+i\theta[/tex]

Le problème est que l'argument [tex]\theta[/tex] n'est pas unique, et qu'on peut définir plein de logarithmes, à [tex]i2\pi[/tex] près...

En général, on choisit la détermination principale du logarithme, c'est-à-dire qu'on suppose [tex]\theta\in ]-\pi,\pi] [/tex] (j'imagine que c'est la définition du logarithme choisi dans Wolfram). Mais alors,
[tex]\log(i)=\log (e^{i\pi/2})=\pi/2[/tex], [tex]\log(i^3)=\log (e^{3i\pi/2})=\log (e^{-i\pi/2})=\frac{-\pi}2\neq 3\log(i)[/tex].

Fred.

labal

Invité

Re : exponentielle

Merci pour la réponse qui m'invite à creuser la théorie, car j'ignore tout du traitement de ces complexes.