Forum de mathématiques - Bibm@th.net

Fred

Administrateur

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Tous dans le même panier!

Bonjour,

  Les temps sont durs, vous le savez. Alors, pour conforter sa maigre retraite,
Nérosson s'en est allé au marché vendre les fruits de son verger. Il disposa, dans 3 paniers,
exactement le même nombre de pommes. Nous étions allés avec lui, Barbichu, Freddy, Roro, Yoshi et moi.

  Pendant que Nérosson avait le dos tourné, Barbichu, un peu taquin, prit une pomme d'un panier
qu'il mit dans un des deux autres paniers. Freddy, qui ne voulait pas être en reste, passa derrière lui
et prit deux pommes d'un panier pour les mettre dans un autre panier. Roro, le plus taquin de tous,
prit lui quatre pommes d'un panier pour les mettre dans un autre. Moi qui observais la scène de loin,
je savais maintenant que dans un panier, il y avait exactement le double du nombre de pommes que dans le panier voisin,
et le triple du nombre de pommes que dans le dernier panier.

  Alors, quand Yoshi, revenant de son tour de marché, se décida à acheter un panier à Nérosson, combien de pommes
au maximum put-il avoir?

Fred.

Dillon

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Re : Tous dans le même panier!

Bonsoir

▼Texte caché

Des conditions initiales, on déduit que le nombre total des fruits est un multiple de 3.
Les conditions finales donnent des paniers contenant 2k, 3k et 6k fruits, soit un total de 11k. 11 étant premier avec 3, k doit être un multiple de 3.
Le plus simple pour commencer est de supposer k=3.
Il y a donc au départ 33 fruits répartis en 3 paniers de 11.
L'un d'eux gagne successivement 1,2 et 4 fruits pour arriver à 18
Le second en perd 1 et 4 pour arriver à 6
Le dernier en perd 2 pour arriver à 9.

Comme un panier ne peut pas gagner plus de 7 fruits au cours des échanges, il est inutile d'essayer des valeurs supérieures de k qui supposent des écarts encore plus importants entre les contenus des paniers.

Avec un seul panier, Yoshi ne peut pas avoir plus de 18 fruits.

jpp

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Re : Tous dans le même panier!

salut.

▼une seule solution

au départ il y a 3n pommes  qui vont au final être disposées en  [tex](\frac13+\frac12+1)\times{y}[/tex]

y , étant les pommes achetées par yoshi.

l'égalité finale est donc [tex]3n =(\frac13+\frac12+1)\times{y}  [/tex] -->  [tex]3n = \frac{11}{6}.y[/tex]-->[tex]18n = 11y][/tex]

par conséquent n=11  et  y = 18  puisque  11 & 18 sont premiers entre eux  . Et comme les transferts n'excèdent pas 7 pommes

la solution suivante serait  22 & 36  . le différentiel  de 14 rend impossible les échanges.

freddy

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Re : Tous dans le même panier!

Salut,

je n'ai pas regardé les propositions cachées.

▼soluce ?

soient a, b et ce le nombre final de pomme, par ordre croissant.
on a [tex]a=\frac{c}{3}[/tex], [tex]a=\frac{c}{2}[/tex] et [tex](a+b+c)6=11c[/tex]  Donc [tex](a+b)6=5c[/tex], soit [tex]a+ b[/tex] est divisible par 5, [tex]c[/tex] est divisible par 6 et [tex]a+b+c[/tex] divisible par 11.

La première solution qui convient est c = 18, b = 9 et a = 6 et le nombre initial de pomme = 11 dans chaque panier.
La question est  : est ce un résultat compatible avec la narration ?
La réponse est oui, et surtout, c'est bien la seule possible. En effet, avec seulement 7 pommes à déplacer, le sujet se vérouille tout seul !

Fred

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Re : Tous dans le même panier!

Ils sont forts les lecteurs de la Bibm@th, ils sont forts...!