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tibo

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Carré de nombre premier

Salut,
Petite énigme facile en souvenir de notre ami Madgel

En calculant les carrés des nombres premiers, on remarque que
5²=1*24+1
7²=2+24+1
11²=5*24+1
13²=7*24+1
17²=12*24+1
Quels nombres premiers respectent la même logique? C'est-à-dire quels sont les nombres premiers dont le carré est un multiple de 24 augmenté de 1?

jpp

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Re : Carré de nombre premier

salut.

▼une réponse

tous les nombres premiers , exceptés 2 & 3 sont de la forme [tex]6n\pm1[/tex] .
ils sont donc congrus à [tex]\pm1 \text[modulo 6][/tex]

ainsi leur carré est congru à 1 (mod 24)  donc de la forme [tex]p^2 = 24n + 1[/tex]

si p = 6n +1   ou  6n - 1 alors[tex]{(6n\pm1)}^2 = 36n^2 \pm12n + 1[/tex]

après factorisation: [tex]{(6n\pm1)}^2 = 12\times{(3n^2\pm{n})} + 1 = 12\times{n}\times{(3n\pm1)} + 1[/tex]

si n est pair , (3n+1) ou (3n-1) sont impairs . et si n est impair , (3n-1) ou (3n+1) sont pairs.

Dernière modification par jpp (25-11-2013 19:20:42)

tibo

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Re : Carré de nombre premier

Yop,

▼Texte caché

C'est trop facile pour toi !^^