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Emeline

Invité

Dm de Math, problemes de vecteur.

Bonjour :)

J'ai un devoir maison de math, et je suis bloqué au dernier exercice, et pourtant j'ai essayé plusieurs fois de trouver la réponse à la question, mais je n'y arrive définitivement pas. Voici l'énoncé :

"Soit IJK un triangle quelconque. Soient Q, R, et T les points définis par : Vecteur IQ = 2/3 Vecteur IJ ; Vecteur JR = 3/5 Vecteur JK et T milieu de [ QK ].

       a) Faire une figure
       b) Montrer que Vecteur IT = 1/3 Vecteur IJ + 1/2 Vecteur IK
       c) Montrer que Vecteur IR = 2/5 Vecteur IJ + 3/5 Vecteur IK
       d) En déduire que les points I, T et R sont alignés                      "

Voilà, alors j'ai fait la figure et c'est le b) que je n'arrive pas. Le c) j'y ai reussi, et le d) je dois attendre d'avoir le b). Bref, j'ai fait un début de travail, et ensuite je suis bloquéé :

" IT = IQ+QT
       = 2/3 IJ + 1/2 QK
       = 2/3 IJ + 1/2 QI + 1/2 IK "

J'avais fait plein de calcul après, mais le résultat que j'avais c'est que je revenais " 2/3IJ + 1/2 QI + 1/2 IK" donc ces calculs ne servaient à rien. J'avais pensé à utilisé ce que l'on connait sur IQ, mais le 1/2 me gène. J'ai essayé, mais je n'arrivait à rien appart revenir au résultat d'avant. Pourriez-vous m'aider à trouver la suite s'il vous plait ? Merci beaucoup d'avance :)

yoshi

Modo Ferox

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Re : Dm de Math, problemes de vecteur.

Bonjour,

[tex]\overrightarrow{IT} = \overrightarrow{IQ}+\overrightarrow{QT}[/tex]
          [tex]=  \frac 2 3 \overrightarrow{IJ }+ \frac 1 2 \overrightarrow{QK}[/tex]
          [tex]=  \frac 2 3 \overrightarrow{IJ }+ \frac 1 2 \overrightarrow{QK}+ \frac1 2 \overrightarrow{IK}[/tex]

Tu as raté le bon départ en première ligne !
Avec ça, tout va s'arranger :
[tex]\overrightarrow{IT} = \frac 1 2 (\overrightarrow{IQ}+\overrightarrow{IK})[/tex]

Cela dit, on peut y arriver aussi comme tu l'as essayé.
Par exemple :
[tex]\overrightarrow{IT} = \overrightarrow{IQ}+\overrightarrow{QT}[/tex]
[tex]\overrightarrow{IT} = \overrightarrow{IQ}+\overrightarrow{TK}[/tex]
[tex]\overrightarrow{IT} =\overrightarrow{IQ}+\overrightarrow{TI}+\overrightarrow{IK}[/tex]
[tex]2\overrightarrow{IT} = \overrightarrow{IQ}+\overrightarrow{IK}[/tex]
[tex]\overrightarrow{IT} =\frac1 2(\overrightarrow{IQ}+\overrightarrow{IK})[/tex]

Et il faut 5 lignes pour arriver au point de départ que je t'ai proposé : se servir du fait que T est le milieu de [QK]

@+

Emeline

Invité

Re : Dm de Math, problemes de vecteur.

Désolé, mais je ne comprends pas trop pourquoi tu mets 1/2 devant IQ + QT ? J'ai essayé pourtant ce que tu viens de me dire, mais je n'y arrive pas, parce que je ne c'est pas ce que deviens le 1/2 :S. Regarde j'ai fais ça :

" IT = 1/2 ( IQ+QT)
       = 1/2 IQ + 1/2 QT
       = 1/2 + 2/3 IJ + ??? "

C'est ca qu'il faut faire pour IJ ? Et puis pour QT comment tu fais s'il te plait ?

yoshi

Modo Ferox

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Re : Dm de Math, problemes de vecteur.

Re,

1/2 + 2/3 IJ + ??? "  ça c'est une horreur ! T'as pas honte d'écrire une chose pareille ?^_^
T'as dû oublier que ;
[tex]\frac 1 2\overrightarrow{IQ}=\frac 1 2 \times \overrightarrow{IQ}[/tex]
Qu'est-ce que tu viens mettre une addition là ?

Quant à  [tex]\overrightarrow{IT} = \frac 1 2 (\overrightarrow{IQ}+\overrightarrow{IK})[/tex], c'est pourtant une propriété fondamentale du cours et tu devrais la connaître...

En voilà une démonstration :
[tex]\overrightarrow{IT} = \overrightarrow{IQ}+\overrightarrow{QT}[/tex]
[tex]\overrightarrow{IT} = \overrightarrow{IK}+\overrightarrow{KT}[/tex]
On additionne membre à membre les 2 égalités :
[tex]2\overrightarrow{IT} = \overrightarrow{IQ}+\overrightarrow{QT}+\overrightarrow{IK}+\overrightarrow{KT}[/tex]
Or puisque T est le milieu de [QK], alors [tex]\overrightarrow{QT}+\overrightarrow{KT}=\vec 0[/tex]
Donc :
[tex]2\overrightarrow{IT} = \overrightarrow{IQ}+\overrightarrow{IL}[/tex]
Et enfin :
[tex]\overrightarrow{IT} = \frac 1 2 (\overrightarrow{IQ}+\overrightarrow{IK})[/tex].

Si tu n'es pas convaincue, une autre preuve :
On trace la parallèle à (IK) passant par Q et la parallèle à (IQ) passant par K.
Soit L leur point d'intersection.
IQLK est un parallélogramme (côtés // 2 à 2)
Ses diagonales ont le même milieu.
Donc T milieu de la diagonale [QK] est aussi celui de [IL].
On alors :
[tex]\overrightarrow{IL} =\overrightarrow{IQ}+\overrightarrow{QL}=\overrightarrow{IQ}+\overrightarrow{IK} [/tex].
Et comme T est le milieu de [IL] alors [tex]\overrightarrow{IL}=2\overrightarrow{IT}[/tex]
Et donc :
[tex]2\overrightarrow{IT} = \overrightarrow{IQ}+\overrightarrow{IK}[/tex]....

Ça y est, pigé ?

@+

Emeline

Invité

Re : Dm de Math, problemes de vecteur.

Oui c'est bon merci j'ai compris. :)