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Yassine

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La puissance de l'infini

Quelqu'un avait posé la question dans cette rubrique du forum pour demander pourquoi on aime les maths.
Plutôt que de répondre directement au post, j'ai ouvert une nouvelle discussion pour partager avec vous un émerveillement lorsque j'étais tombé sur les suites de Goodstein.
Ces suites sont construites en considérant l'écriture en base p-itérée d'un nombre :
Ecriture en base 2 de 26 : [tex]26 = [11010]_2 = 2^4 + 2^3 + 2^1[/tex]
Ecriture en base 2-itérée de 26 : [tex]26 = 2^{2^2} + 2^{2+1} + 2[/tex]

On considère alors la transformation [tex]T_{p,q}[/tex] définie pour [tex]p < q[/tex] et consistant à remplacer p par q dans l'écriture en base p-itérée.
Les suites de Goodstein consistent à partir d'une valeur initiale [tex]u_0[/tex] et d'appliquer sucessivement les transofmations suivantes [tex]u_0 \to T_{2,3} \to -1 \to T_{3,4} \to -1 \to T_{4,5} \to -1 \ldots[/tex].

Cette suite a une croissance initiale fulgurante (et le mot est faible).
Si je pose [tex]u_0=26[/tex], alors [tex]u_1=7.625.597.485.070[/tex] et plus impressionnant  encore
[tex]u_0=266[/tex], alors [tex]u_1 \approx 10^{38}[/tex] et [tex]u_2 \approx 10^{616}[/tex] !!

Et pourtant, Goodstein a démontré qu'on partant de n'importe que entier [tex]u_0[/tex], la suite de Goodstein atteint [tex]0[/tex] après un nombre fini d'étapes.

Je n'arrivais juste pas à croire ce résultat ! Comment une simple soustraction de 1 à chaque étape pouvait venir à bout d'une explosion des puissances.
Bien que j'ai fini par "voir" le mécanisme qui permettait ce miracle (explication ici qui fait un détour par les suites faibles de Goodstein), je continue à être sous le charme de ce résultat.

Pour ceux que ça intéresse, vous pourrez également lire l'article de Dehornoy qui s'intitule 'A quoi sert l'infini ?'.

sylphynx

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Re : La puissance de l'infini

Bonjour Yassine et merci car il est tres bien ce pdf (il comprend même un introduction aux table de Laver)
je met ce lien-ci dans ce post afin de completer ce fil il presente (explique ) les fondamentaux en ce qui concerne la théorie des ensembles
l'auteur a fait quelque fautes d'orthographes dans son introduction cependant son travail est de qualité je trouve
il est tres accessible et clair  à mon avis

https://docs.google.com/viewer?a=v&pid= … gzYmNkOWNi

yoshi

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Re : La puissance de l'infini

Bonjour,

introduction aux table de Laver

Laver en machine ou à la main ? ^_^
Bon, je présume que tu veux parler des "Tables de vérité" ?

l'auteur a fait quelque fautes d'orthographes

Toujours délicat de signaler ça :
1. Et alors ?
2. Et toi ?

Alors, pour moi, La révélation, la fascination a été, en Terminale (je crois, ça fait 47 ans quand même...), la découverte des axiomes de Peano et de ce qui s'en est ensuivi...

Et, idéaliste ou utopique, j'ai toujours tenté de faire partager ma fascination pour les Maths à mes élèves...
Quand, en 4e, arrive le moment d'introduire la multiplication des nombres relatifs, les bouquins, en gros, balancent la règle des signes point barre...
Ça m'a toujours chiffonné, même si vu le niveau de connaissances théoriques de sortie de 5e, on ne peut guère espérer de "belles choses" et c'est normal.
Cela dit, à cet âge, il y en a encore un bon nombre qui ne sont pas blasés et ne demandent qu'à "s'émerveiller" si on les pousse un peu : c'est la dernière limite, parce qu'après, comme on disait dans notre jargon : "ils auront d'autres centres d'intérêt" ^_^...

Adoncques, un jour, je m'étais dit : balancer les règles, c'est bien, leur montrer que ça ne tombe pas du ciel, c'est mieux !
Et j'essayais, année après année, de leur montrer qu'en partant d'un objectifs simple :
  Construire la multiplication des relatifs et lui conserver les mêmes règles que celles de la multiplication dans [tex]\mathbb{N}[/tex] et en particulier la distributivité de x sur +
on pouvait retrouver, avec des exemples numériques bien choisis, les règles du cours...

Je ne me fais pas trop d'illusions, j'espère simplement que sur un groupe de 28/29, j'ai pu chaque année développer le goût des Maths chez 2 ou 3 et montrer à beaucoup d'autres qu'elles n'étaient pas artificielles comme ils le pensaient...

N'oublions pas, que nous, pour une petite partie, nous sommes des convaincus et que d'autres, majoritaires, nous rejoignent dans un but utilitaire.

@+

sylphynx

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Re : La puissance de l'infini

j'ai dit cela pour que lecteur de l'introduction ne juge pas en fonction de cela précisémment et pas pour autre chose puisqu'on me l'a déjà fait remarqué donc en prévision des remarques je le dit

sinon Yoshi à propos Les tables de Laver je peux ouvrir un fil si tu me le demande sinon tu peux voir le pdf de Yassine

yoshi

Modo Ferox

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Re : La puissance de l'infini

Bonjour,

à propos Les tables de Laver je peux ouvrir un fil

pas la peine je viens de voir...
Je ne connaissais pas (et ça ne m'a pas empêché de dormir...) et j'ai sincèrement cru que c'était une formulation approximative de l'expression "Tables de vérité"...

Je vois qu'il n'en est rien.

@+

Yassine

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Re : La puissance de l'infini

sylphynx,
Le PDF est intéressant en effet.
Le site de Dehornoy contient aussi tout un cours (très détaillé) de la théorie des ensembles pour ceux que le sujet intéresse.

sylphynx

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Re : La puissance de l'infini

Je te remercie Yassine pour l'indication pour Dehornoy que je ne connaissais pas  : il existe un pdf disponible sur le net
je peut le consulter cela me fait deux sources avec le lien precedent pour continuer
Ayant quitté le cursus scolaire à 16 ans et à mon niveau mieux vaut que je dispose peu d'information plutôt que d'en avoir trop et cela sans savoir la gerer et demander la disponibilité de gens qui doivent d'abord aider ceux qui en ont effectivement besoin dans leur études ou cursus professionnel
bonne continuation Yassine

sylphynx

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Re : La puissance de l'infini

Bonjour,

à propos Les tables de Laver je peux ouvrir un fil

pas la peine je viens de voir...
Je ne connaissais pas (et ça ne m'a pas empêché de dormir...) et j'ai sincèrement cru que c'était une formulation approximative de l'expression "Tables de vérité"...

Je vois qu'il n'en est rien.

@+

si à présent ça t'empêche de dormir
je peux faire un exposé algebrique car il me fait de la peine sentimentale Mr Laver(que sentimentalement ma future femme aurait  aimée -elles sont compliquées)
Yoshi tu dort? mais ça me ferai de la peine aussi si tu dort alors c'est trop triste toute ces histoires

sylphynx

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Re : La puissance de l'infini

elle aime Laver
je la connais pas mais l'intuition...
alors he ben j'essaye de prendre les devants!
non je dort pas!
ça servira à rien mais au moins ...

Dernière modification par sylphynx (28-04-2013 03:28:21)

yoshi

Modo Ferox

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Re : La puissance de l'infini

RE,

si à présent ça t'empêche de dormir
je peux faire un exposé algébrique

Non, merci.... Inutile.

@+