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totomm

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Un ordre sans demi-mesure

Bonjour,

Sauriez-vous ranger les nombres 1, 2, 3, ..., 25 de façon que la demi-somme de deux de ces nombres ne soit jamais égale à un nombre écrit entre eux ?
Et donner une méthode générale pour les nombres de 1 à N, quel que soit N entier.

cordialement

amatheur

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Re : Un ordre sans demi-mesure

salut

▼Texte caché

voila la permutation que vous demandez:
3-7-11-9-5-1-25-4-8-12-10-6-2

.

totomm

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Re : Un ordre sans demi-mesure

Salut

@amatheur : La séquence doit comporter à l'évidence les 25 nombres de 1 à 25 !

et en commençant par 3, 7, 11, la demi-somme de (3 +11) / 2 vaut 7 qui ne devrait donc pas se trouver entre 3 et 11

Cordialement

Dernière modification par totomm (23-02-2013 17:46:18)

amatheur

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Re : Un ordre sans demi-mesure

salut
MAIS OU ES CE QUE J'AVAIS LA TÈTE! j'ai toujours su que je ne devrais pas faire des maths l'estomac vide!!

▼Texte caché

voila la séquence:
12-4-20-24-8-13-6-2-10-22-14-18-25-11-3-19-23-7-15-5-1-11-21-13-17.
j'ai mis les nombre paires et impairs de part et d'autre. puisque leurs demi somme n'est jamais un entier, alors le problème se ramène à les travailler les uns indépendamment des autres.
pour les pairs: je les aient divisé en deux groupes, ceux qui s’écrivent sous forme de 4k, et le groupe des 4k+2, leurs demi somme est un nombre impairs, et puisque j'ai mis les impaires à l'autre bout de la séquence , alors il est faisable d’aligner les deux groupes:
pour les 4k, je les divisent en deux sous groupes selon que k est pair ou impairs, la somme de deux nombres appartenant a ces deux sous groupes appartiennent au groupe des 4k+2.
le même raisonnement s'applique au groupe des 4k+2.
il est évident que les nombre impairs vont être arrangés selon le même raisonnement.
je n'ai pas encore bosser le cas général, mais j'entrevois que le principe et le même, on écriras les nombre paires par exemple sous forme  [tex]{2}^{p}k[/tex] et les on les divisera en petits groupes selon les p et la parité des k..
j'y reviendrais tout à l’heure

totomm

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Re : Un ordre sans demi-mesure

bonsoir,

@amatheur : il y a de bonnes idées, mais
11 et 13 figurent 2 fois, manquent 9 et 16
il y a 21 erreurs dont : (12+14) / 2 = 13 et en dernier : (1+21) / 2 = 11

Cordialement

amatheur

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Re : Un ordre sans demi-mesure

re
j'ai commis des erreurs de transcription,! cette fois à estomac plein! " je devrais cesser d'accuser mon estomac de toutes mes bêtises d’esprit  :)"
j’espère que cette fois ci est la bonne!

▼Texte caché

chez les impaires on distingue quatre groupes:8k+1, 8k+3, 8k+5, 8k+7
12-4-20-24-8-16-6-2-10-22-14-18-25-9-1-17-13-5-21-11-3-19-23-7-15

totomm

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Re : Un ordre sans demi-mesure

Bonjour,

@ amatheur : Bonne solution.
Il en existe beaucoup que l'on peut écrire en suivant une méthode générale.

▼Autre exemple

16 - 8 - 24 - 12 - 4 - 20 - 14 - 6 - 22 - 10 - 2 - 18 - 15 - 7 - 23 - 11 - 3 - 19 - 13 - 5 - 21 - 9 - 25 - 1 - 17

Voulez-vous énoncer cette méthode ? Sinon je le ferai ultérieurement...

Cordialement

amatheur

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Re : Un ordre sans demi-mesure

Re

▼Texte caché

voici un algorithme que je propose pour arranger le cas général pour tout N.
soit p un entier naturel tq  [tex]{2}^{p+1}<N<{2}^{p+2}[/tex]
tout entier naturel  [tex]{n}_{ki}\leq N[/tex] peut s'ecrir sous la forme unique [tex]{n}_{ki}={2}^{p}k+{{r}_{i}}^{}[/tex]   tq  [tex]k\in \left(0;1;2\right)[/tex] et  [tex]1\leq {r}_{i}\leq {2}^{p}[/tex]
on notera le triplet [tex]{{r}_{i}}[/tex][tex]=\left({n}_{1i};{n}_{0i};{n}_{2i}\right)[/tex]
arrangé dans cet ordre de façon à répondre aux exigences du problème.( les trois moyennes arithmétiques qu'on peut en extraire ne pose guère problème)
maintenant il restera à arranger tous les triplets. chose qui revient à arranger la suite des [tex]{r}_{i}[/tex], ainsi je pense qu'on pourrait procédé de proche en proche en arrangent des suites décroissantes "donc finies" de triplets.

@totomm: je sais que ce raisonnement manque de rigueur mathématique, et que je ne propose pas de formule générale, c'est pourquoi j'ai hâte de voire ton approche du problème.

totomm

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Re : Un ordre sans demi-mesure

Bonsoir,

Voici une méthode valable pour tout N entier :
Le rangement (1, 2) convient pour les nombres de 1 à [tex]2^1[/tex]
Le rangement (2, 4, 1, 3) convient pour les nombres de 1 à [tex]2^2[/tex]

Si le rangement [tex]r_p[/tex] des nombres de 1 à [tex]2^p[/tex] convient,
on démontre facilement que convient aussi le rangement [tex]r_{p+1}[/tex] des nombres de 1 à [tex]2^{p+1}[/tex] obtenu :
en écrivant tous les doubles de [tex]r_p[/tex] puis en les faisant suivre des impairs égaux à tous les (doubles  de [tex]r_p[/tex] moins 1)

Si [tex]2^p<N<2^{p+1}[/tex] on supprime du rangement [tex]r_{p+1}[/tex] tous les nombres supérieurs à N.

Cordialement.

Dernière modification par totomm (24-02-2013 19:45:29)