Histoire d'un fiasco

nerosson · 05-11-2012 19:05:07

Salut à tous,

Il n'est pas nécessaire d'espérer pour entreprendre,ni de réussir pour persévérer
Guillaume d'Orange.

Certains d'entre vous le savent peut-être déjà : j'éprouve une sorte d'aversion pour les nombres premiers : qu'un fait mathématique soit rebelle à toute loi, c'est intolérable ! Il doit y en avoir une, et peut-être qu'elle est toute simple.

La seule chose qu'on ait prouvé, c'est que la suite des nombres premiers est infinie. Cela du moins, je l'avais trouvé tout seul dans mon jeune temps, bien avant de savoir qu' Euclide s'était levé avant moi...

Réflexion du lecteur (tout à fait fondée) : « Ce pauvre Nérosson ! Pourquoi se tracasse-t-il sur des problèmes qui sont restés hermétiques aux plus grands cerveaux que la planète ait produits. » . C'est vrai, mais d'autre part il m'est arrivé trois ou quatre fois dans ma carrière d'avoir une idée qui s'est avérée utile et à laquelle personne n'avait songé. La loi qui régit les nombres premiers, (il ne peut pas ne pas y en avoir une!) sera peut-être trouvée, dans un éclair génial, par un épicier ou un gardien de mouton.

Donc, ces derniers jours, j'en avais après les nombres premiers jumeaux, et je me disais : « Les nombres premiers se raréfient au fur et à mesure que l'on progresse dans l'échelle des nombres (ce qui est d'ailleurs parfaitement logique) et il en est sûrement de même pour les nombres premiers jumeaux. Il serait donc intéressant de voir comment évolue cette raréfaction progressive : supposons qu'après l'avoir mise sous forme de graphique, les points obtenus se présentent sous forme d'un segment d' hyperbole, il en résulterait que la suite des nombres premiers jumeaux est infinie, puisque une hyperbole n'est tangente qu'à l'infini à la ligne des abscisses .

J'ai donc établi le tableau suivant :

N° SUITE DES ENTIERS TOTAL DES JUMEAUX NOMBRE DE JUMEAUX
(par tranches de 100.000) (de 0 jusqu'à la tranche n) (dans chaque tranche)

1 2 à 100.000 1.224 1.224
2 100.000 à 200.000 2.160 2.160 - 1.224 = 936
3 200.000 à 300.000 2.994 2.994 - 2.160 = 834
4 300.000 à 400.000 3.804 3.804 - 2.994 = 810
5 400.000 à 500.000 4.565 4.565 - 3.804 = 761
6 500.000 à 600.000 5.331 5.331 - 4.565 = 766
7 600.000 à 700.000 6.061 6.061 - 5.331 = 730
8 700.000 à 800.000 6.766 6.766 - 6.061 = 705
9 800.000 à 900.000 7.472 7.472 - 6.766 = 706
10 900.000 à 1.000.000 8.169 8.169 - 7.472 = 697
11 1.000.000 à 1.100.000 8.894 8.894 - 8.169 = 729
12 1.100.000 à 1.200.000 9.599 9.599 - 8.894 = 705
13 1.200.000 à 1.300.000 10.251 10.251 - 9.599 = 652
14 1.300.000 à 1.400.000 10.952 10.952 - 10.251 = 701
15 1.400.000 à 1.500.000 11.596 11.596 - 10.952 = 644
16 1.500.000 à 1.600.000 12.260 12.260 - 11.596 = 664
17 1.600.000 à 1.700.000 12.931 12.931 - 12.260 = 671
18 1.700.000 à 1.800.000 13.583 13.583 - 12.931 = 652
19 1.800.000 à 1.900.000 14.240 14.240 - 13.583 = 657
20 1.900.000 à 2.000.000 14.871 14.871 - 14.240 = 631
21 2.000.000 à 2.100.000 15.515 15.515 - 14.871 = 644
22 2.100.000 à 2.200.000 16.117 16.117 - 15.515 = 602
23 2.200.000 à 2.300.000 16.755 16.755 - 16.117 = 638
24 2.300.000 à 2.400.000 17.360 17.360 - 16.755 = 605
25 2.400.000 à 2.500.000 17.937 17.937 - 17.360 = 577
26 2.500.000 à 2.600.000 18.545 18.545 - 17.937 = 608
27 2.600.000 à 2.700.000 19.154 19.154 - 18.545 = 609
28 2.700.000 à 2.800.000 19.757 19.757 - 19.154 = 603

Je n'ai pas eu besoin de faire un graphique pour me rendre compte qu'une fois de plus, je m'étais planté. S'il y a bien une tendance à la diminution, elle s'effectue de façon totalement incohérente.

Ayez pitié du pauvre Nérosson !

Dernière modification par nerosson (06-11-2012 17:00:23)

Choukos · 05-11-2012 21:49:12

Bonsoir !

J'adore ce sujet ! Je débute en mathématiques et comme vous je suis vraiment intéressé / frustré / fasciné par tous ce qui tourne autour des nombres premiers...

il en résulterait que la suite des nombres premiers jumeaux est infinie, puisque une hyperbole n'est tangente qu'à l'infini à la ligne des abscisses .

Je rebondis dessus, [tex]\frac{1}{n^2}[/tex] a bien pour graphe une branche d'hyperbole qui n'est tangente qu'à l'infini avec l'axe des abscisses, pourtant, si on somme tous les [tex]\frac{1}{n^2}[/tex], ça tend, de manière surprenante, vers [tex]\frac{\pi^2}{6}[/tex] comme l'avait montré Euler. De la même manière pour le nombre de nombre jumeaux : si le nombre de nombre jumeaux décroît à chaque (ou presque!) tranche comme une hyperbole (comme [tex]\frac{1}{n^2}[/tex] par exemple) ça n'implique a priori pas que la somme sur toutes ces tranches, c'est à dire le nombre total de nombre jumeaux, tend vers l'infini.

Comme je ne connais malheureusement rien sur le sujet, je suis allez fouiner sur Wikipedia qui a quelques infos bien sympa sur le sujet :
http://fr.wikipedia.org/wiki/Nombres_premiers_jumeaux. Et notamment en bas de la page on voit $8705d5a7e8c600044dca8f8d2523a882.png$ . La fonction qui à un x donné, compte le nombre de nombre premiers jumeaux inférieurs à x se comporte pour x infiniment grand comme l'expression de droite, or l'expression de droite tend vers l'infini quand x tend vers l'infini, ce qui montre que le nombre de nombre premiers jumeaux est infini. Mais cette expression n'est pas encore démontré d'après wiki.

Toutefois on trouve sur cette même page :
"En 1966, Chen Jingrun a démontré l'existence d'une infinité de nombres premiers p tels que p + 2 soit le produit d'au plus deux facteurs premiers (un tel nombre, produit d'au plus deux facteurs premiers, est dit 2-presque-premier).
Son approche fut celle de la théorie du crible, qu'il utilisa pour traiter de façon similaire la conjecture des nombres premiers jumeaux et la conjecture de Goldbach."

C'est pas tout à fait ça mais on dirait qu'on s'en rapproche... Après pour enlever le "presque"...
De même on voit grâce à vos données que le nombre de nombre premiers jumeaux est "presque" décroissant. J'aimerai bien pouvoir enlever le presque et déterminer à coup sur les variations de ces nombres ! :)

Personnellement, je ne sais rien dessus et ça me donne bien envie de me renseigner. Malheureusement, ça devra attendre un peu (comme beaucoup de choses !!) : je suis en pleine période de partiels...

Bonne soirée,
Choukos

Dernière modification par Choukos (05-11-2012 22:09:53)

freddy · 06-11-2012 10:57:08

Salut,

l'histoire ne retient que les démarches qui ont abouti à un succès, elle ne raconte jamais tous les échecs subis par les chercheurs avant d'avoir trouvé le Graal !

Honneur et Courage !

nerosson · 06-11-2012 16:58:29

Salut à tous,

Mon bon Freddy,

Si tu savais à quel point je n'ai aucune envie d' entrer dans l'histoire ! Je vois au contraire quelque chose de profondément réconfortant dans la pensée que, dans 200 ans, personne ne pourra dire du mal de moi parce que personne ne saura que j'ai existé. Regarde ce pauvre Vercingétorix, mort il y a plus de 2.000 ans : il y a quelque temps, j'ai lu un article qui disait que c'était un con d'être allé s'enfermer dans Alésia.

Mais revenons à nos moutons, (comme dit ma femme en balayant sous notre lit), autrement Fred et yoshi vont tordre le nez. Je ne veux pas faire comme Archambault ! Tu ne connais pas Archambault ? C'était un coureur cycliste des années trente. Tant que c'était au plat, il se débrouillait pas trop mal, mais quand ça commençait à grimper, il montait péniblement les côtes en pleurant et se retrouvait perdu dans les profondeurs du classement.

Après la brillante intervention de notre ami Choukos, je laisse la place aux grimpeurs et je monte dans la voiture-balai.

Dernière modification par nerosson (06-11-2012 17:06:57)

Forum de mathématiques - Bibm@th.net

#1 05-11-2012 19:05:07

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