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totomm

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Le jeu SET de Fred : Probabilités de NON SET

Bonjour,

Fred a initié fin 2011 une réflexion sur le JEU SET Voir ici

Dans la règle du jeu, il est écrit que lorsque l'on pose 12 cartes sur la table, la probabilité qu'on ne puisse pas faire un set est de 1/33.
Ce calcul ne me semble pas si facile... Avez-vous des idées (ou un programme Python qui fasse la même conjecture?).

les règles du jeu disponibles ici

Les idées restées en suspens ont été approfondies et les méthodes de calcul nettement améliorées dans un rapport d'au moins 200.
Ainsi j'avais calculé, en environ 30 heures sur PC familial, la probabilité de NON SET  de 11 cartes et les éléments permettant d'en déduire la probabilité exacte pour 12 cartes.
Je dénombre maintenant rapidement le nombre de configurations NON SET de 12 cartes en appliquant le principe suivant :

Si on sait répartir les configurations NON SET de p cartes (p = 3, 4 ou 5...) en classes disjointes et si l'on connaît pour chaque classe la probabilité commune de NON SET des configurations et leur nombre, alors le nombre de configurations à examiner pour obtenir la probabilité des configurations NON SET de n cartes (n=12 par exemple) est réduit aux nombres de combinaisons de (n-p) cartes prises parmi (81-p) cartes, examen effectué sur chaque classe en partant d'un seul élément de chaque classe.
Exemple : Le temps de calcul de  [tex]\binom{81}{12}[/tex] combinaisons est inacceptable, celui de  [tex]\binom{77}{8}[/tex] combinaisons devient raisonnable

Je répartis les configurations de p cartes sur table en classes en examinant le nombre et l'histogramme des cartes qui feraient SET si on ajoutait une carte supplémentaire sur table.

Je construit ainsi un programme qui arrive aisément à donner la probabilité précise de NON SET pour 12 cartes prises parmi les 81 cartes

[tex]\frac{325432404}{10074689485} = 0.03230197858549682[/tex]

Mais j'aimerais aller plus loin, 20 cartes sur table par exemple, et travailler sur un modèle du jeu SET. Par exemple en géométrie d'incidence :
Chacune des 81 cartes assimilée à un point ;
par 2 points passe une droite et une seule, et sur chaque droite il n'y a que 3 points
(une droite représente un SET entre 3 points) ;
Une configuration de n points est NON SET quand toutes les droites passant par les paires de points dits "sur table" n'ont pas leur 3ème point dans la configuration, etc.

Des idées sur la bonne façon de prolonger cette réflexion ?

Dernière modification par totomm (01-11-2012 17:13:20)

totomm

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Re : Le jeu SET de Fred : Probabilités de NON SET

Bonjour,

@ l'attention de Fred :

Je suis retombé un peu par hasard sur les résultats de D.Knuth obtenus en 2001.
à l'adresse internet (ajouter http://)
henrikwarne.com/2011/09/30/set-probabilities-revisited/
on trouve en date du 08/12/2013 (prequ'en fin de document)
le résultat 29.958:1 soit probabilité de non-set sur 12 cartes = 0.03338

le même document renvoie à l'adresse (ajouter http://) :
math.stackexchange.com/questions/202862/in-the-card-game-set-whats-the-probability-of-a-set-existing-in-n-cards
où l'on trouve en date du  27/sept 2012 un tableau avec la valeur 2284535476080, laquelle,
divisée par 70724320184700 donne une probabilité de 0.03230197858549682, un peu différente de la première valeur ci-dessus

le 31/12/2011 je donnais exactement la même dernière valeur :
La probabilité de NON SET pour une donne de 12 cartes est de  0,032302 soit 1 / 30,96
Donc plutôt 1 / 31 que 1 / 33
En valeurs entières : [tex]\frac{ 2^2* 3^5*11^2*2767}{5*7*19*37*71*73*79}[/tex]

On peut se plonger dans le source du programme de D.Knuth qui est accessible, mais il est écrit en C-WEB…

Dernière modification par totomm (14-09-2014 15:29:24)

jani

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Re : Le jeu SET de Fred : Probabilités de NON SET

ce serait bien qu'on puisse taper du texte à la main dans la barre de formule de l'éditeur et de pouvoir annuler une frappe aussi.