DM de microéconomie difficile...

bbrunol2 · 06-04-2012 12:11:32

Bonjour,
J’ai un DM de microéconomie à faire et je me retrouve bloqué… Sur les six exercices donnés, j’en ai cinq à résoudre, mais il y a deux exercices je bloque totalement…
Je vous écris donc pour savoir si quelqu’un pouvait m’aider sur au moins l’un de ces deux exercices… Merci par avance !!

Exercice 1 :
Un consommateur consacre un revenu R à l’achat de deux biens. On note p1 et p2 les prix unitaires de ces biens et on désigne par x1 et x2 les quantités consommées. Les préférences du consommateur sont représentées par une fonction d’utilité U définie par :
U(x1,x2)=√(x1)+x2 avec x1≥0 et x2≥0.

1.) Calculer les fonctions de demande pour chacun des biens. On supposera R>p22/4p1.
2.) Calculez pour chacun des biens l’élasticité-revenu et les élasticités-prix de la demande dans le cas où p1=1, p2=2 et R=3.

Exercice 2 :
On envisage une entreprise en concurrence parfaite dont la fonction de production s’écrit : y=x11/3x21/3. Y est le volume de la production, x1 et x2 sont les quantités utilisées de facteurs 1 et 2. Les prix unitaires de deux facteurs sont égaux à l’unité et on note p le prix du bien produit.

1.) En supposant les deux facteurs variables, déterminer la fonction de coût.
2.) Déterminer l’offre de produit et les demandes de facteurs lorsque l’entreprise maximiser son profit. En déduire la fonction de profit.
3.) Retrouver les résultats de la question 2 en passant maintenant par la fonction de coût.

Je vous remercie par avance !! Cela fait des heures que je travaille dessus et je n’arrive pas à avancer…

freddy · 06-04-2012 13:41:12

Salut,

j'aimerais bien connaître les sujets que tu as déjà su résoudre, car les deux sujets ci-dessus sont assez simples si on applique les définitions et théorèmes vus en cours. Il suffit de faire quelques manipulations algébriques en ne perdant pas de vue ce que l'on fait.

T'es en quelle année ?

bbrunol2 · 06-04-2012 13:54:38

Bonjour, merci de vous intéresser à mon problème... Ca m'enrage de voir que c'est assez simple et que moi je n'y arrive pas!! ;)
Pour le premier exercice, j'ai essayé avec le théorème de Lagrange mais je ne sais pas si je suis bien partie de ce côté... Les sujets dont vous parlez, c'est ce que j'ai déjà étudié en cours?
Je suis en deuxième année d'administration économique et sociale

freddy · 06-04-2012 14:53:49

Salut,

AES ? Oui, OK, je comprends mieux tes difficultés. il faudrait que tu sois plus précis sur tes notations.

Je reprends le sujet et modifie ce qu'il faut en faisant un copier/coller dans ta réponse. Sers toi de l'éditeur d'équation si besoin.

Un consommateur consacre un revenu R à l’achat de deux biens. On note [tex]p_1[/tex] et [tex]p_2[/tex] les prix unitaires de ces biens et on désigne par [tex]x_1[/tex] et[tex] x_2[/tex] les quantités consommées. Les préférences du consommateur sont représentées par une fonction d’utilité U définie par :
[tex]U(x_1,x_2)=\sqrt{x_1}+x_2[/tex] avec [tex]x_1 \ge 0[/tex] et [tex]x_2 \ge 0[/tex].

1.) Calculer les fonctions de demande pour chacun des biens. On supposera [tex]R \gt \frac{p_2^2}{4p_1}[/tex] OK
2.) Calculez pour chacun des biens l’élasticité-revenu et les élasticités-prix de la demande dans le cas où[tex] p_1=1[/tex], [tex]p_2=2[/tex] et R=3.

Exercice 2 :
On envisage une entreprise en concurrence parfaite dont la fonction de production s’écrit : [tex]y=x_1^{\frac13}x_2^{\frac13}[/tex] OK

Y est le volume de la production,[tex] x_1[/tex] et [tex]x_2[/tex] sont les quantités utilisées de facteurs 1 et 2. Les prix unitaires de deux facteurs sont égaux à l’unité et on note p le prix du bien produit.

Dernière modification par freddy (06-04-2012 16:47:20)

freddy · 06-04-2012 15:02:08

bbrunol2 a écrit :

.. Ca m'enrage de voir que c'est assez simple et que moi je n'y arrive pas!! ;)
...
Je suis en deuxième année d'administration économique et sociale

Non, non, ce n'est pas si simple que ça. Je te croyais en MASS, c'est tout.

bbrunol2 · 06-04-2012 15:25:13

Ah... Bon :/
Et... avez-vous une idée pour résoudre mon problème?...

freddy · 06-04-2012 15:44:17

Re,

tu sais lire ou quoi ? Je t'ai posé au moins deux questions, réponds y pour commencer !

Dernière modification par freddy (06-04-2012 15:44:57)

bbrunol2 · 06-04-2012 16:13:32

Oops excusez moi je n'avais pas vu la réponse au dessus... Oui je ne peux pas utiliser "insérer une équation" donc je vous le fait à l'écrit:

Exercice 1:
"R>p22/4p1" = R supérieur à p2 au carré divisé par p1.
De plus, en ce qui concerne la racine de la fonction d'utilité, seul x1 et sous la racine...

Exercice 2:
"y=x11/3x21/3" = y = x1 puissance 1/3 multiplié par x2 puissance 1/3.

Merci de passer du temps à essayer de m'aider...

bbrunol2 · 06-04-2012 16:31:28

freddy a écrit :

[tex]R \gt \frac{p_2^2}{p_1}[/tex] OK

Je viens de vérifier en relisant et je viens de voir qu'en fait c'est 4p1 au dénominateur... :/

freddy · 06-04-2012 16:45:28

Re,

bon, j'ai corrigé ton énoncé.

Pour le consommateur, la théorie soutient qu'il va consommer tout son revenu R en choisissant les quantité des biens 1 et 2 qui maximisent son "plaisir" (sa fonction d'utilité). Ce qui va l'aider à choisir sont les prix des biens 1 et 2.

Donc les quantités de biens consommés [tex]x_1^*[/tex] et [tex]x_2^*[/tex]sont telles que [tex]U(x_1^*,x_2^*)[/tex] est max et [tex]R \ge p_1x_1^*+p_2x_2^*[/tex]

Pour les trouver, on résout le programme [tex]Max U(x_1,x_2)[/tex] sous la contrainte [tex]p_1x_1+p_2x_2 \le R[/tex] (et on devrait intégrer la non négativité de deux [tex]x_{1,2}[/tex])

Une bonne technique est d'utiliser le multiplicateur de Lagrange et de résoudre le programme suivant :

trouver [tex](x_1,x_2,\lambda)[/tex] qui maximisent [tex]L(x_1,x_2,\lambda)=U(x_1,x_2)+\lambda\times (R-p_1x_1-p_2x_2)[/tex].

Une condition nécessaire est que les trois dérivées partielles premières du lagrangien L par rapport aux trois variables soient nulles.

Tu saurais faire ?

Dernière modification par freddy (07-04-2012 21:58:14)

bbrunol2 · 06-04-2012 16:53:06

Oui pour la première question j'ai essayé d'utiliser Lagrange. Je suis coincé à partir du moment où je fais Lx1/Lx2... Je devrais normalement faire x1 par rapport à x2 ou le contraire et le remplacer dans Lλ pour trouver x1* et x2*... Mais je n'y arrive pas ça... :/

[par contre je suis désolé, à partir de 18h je n'ai plus internet jusqu'à demain matin..., je retente ce soir et je vous recontacte ici demain pour voir si j'ai réussi à me débloquer ou si vous m'avez apporté quelques conseils]
Par avance, bonne soirée!

freddy · 06-04-2012 17:01:36

Re,

les 3 dérivées partielles donnent les trois conditions :

[tex]\frac{1}{2\sqrt{x_1}}=\lambda p_1[/tex] ce qui impose que [tex]x_1[/tex] soit strictement positif.

[tex]1=\lambda p_2[/tex]

[tex]R=x_1p_1+x_2p_2[/tex]

Dernière modification par freddy (06-04-2012 17:03:11)

bbrunol2 · 06-04-2012 21:55:57

Bon ce qui me rassure c'est que je trouve la même chose pour les dérivées! Mais c'est la suite mon soucis...

Je fais donc p1/p2= [tex]\frac{1}{2\sqrt{x_1}}[/tex]
Normalement je devrais exprimer x1 par rapport à x2 et le remplacer dans R, mais comme je n'ai pas de x1 je suis un peu bloqué...

freddy · 06-04-2012 22:43:05

Re,

non, les deux premières équations te donnent la fonction de demande du bien 1, puisque tu as [tex]\lambda p_1 2\sqrt{x_1}=\lambda p_2[/tex].

En posant [tex]\lambda \ne 0[/tex] on a [tex]x_1=\frac{p_2^2}{4p_1^2}[/tex]. On observe que la demande du bien 2 dépend du prix relatif des deux biens, mais pas du revenu disponible. Par contre, le bien 1 est normal, puisque sa demande décroit avec son prix.

Puisque [tex]\lambda \ne 0[/tex] cela signifie que la contrainte de budget est saturée (si le coefficient était nul, on n'aurait rien pu dire sur cette contrainte, ce qui aurait été embarrassant), donc on déduit la fonction de demande du bien 2 qui s'écrit :

[tex]x_2=\left(R-\frac{p_2^2}{4p_1}\right)\times \frac{1}{p_2}[/tex].

Quand on analyse les deux fonctions de demande, on comprend pourquoi on a posé [tex]R > \frac{p_2^2}{4p_1}[/tex]. Cela signifie que notre consommateur pourra aussi consommer du bien 2, puisque la quantité demandée de bien 1 est connue dès que les deux prix sont connus.

De fait, on comprend ensuite l'intérêt des questions qui suivent sur les élasticité prix et revenu.

Allez, dis moi si tu coinces encore.

Dernière modification par freddy (06-04-2012 23:12:19)

bbrunol2 · 07-04-2012 11:46:31

Ah ben d'accord! c'est vrai qu'en voyant ça je trouve ça beaucoup plus simple quand même que ce que je pensais!! Je sais pas pourquoi mais j'avais l'impression que je devais absolument faire L1/L2...
Du coup j'ai continué et j'ai bossé pour le moment sur l'élasticité-revenu, cependant toujours un problème (je ne comprend vraiment pas comment ça se fait que j'ai du mal comme ça!!). Pour la formule de l'élasticité-revenu, j'ai utilisé:
E1=(Δx1*/x1*)/(ΔR/R) et E2=(Δx2*/x2*)/(ΔR/R) [désolé je ne peux toujours pas utiliser la fonction d'insertion de l'équation...]
J'ai donc calculé x1* et x2* et je trouve 1 pour les deux, pas de soucis, mais c'est par rapport à Δx1*, Δx2* et ΔR... Comment je peux trouver une variation alors que je n'ai que p1=4, p2=2 et R=3 et pas d'autres chiffres? J'ai regardé mon cours et je n'ai trouvé que cette formule là pour l'élasticité... Il y a donc sûrement un autre moyen mais là j'avoue que je ne sais pas trop...

freddy · 07-04-2012 13:34:11

Salut,

pour les élasticités, tu prends les définitions de base et l'astuce est la suivante :

[tex]\frac{\Delta y}{y}/\frac{\Delta x}{x}=\frac{dy}{dx}\times \frac{x}{y}[/tex] et donc tu fais un petit calcul de dérivée première des fonctions de demande par rapport aux prix et au revenu.

La justification est que la définition est valable pour des variations très, très petites de x ... La différentiabilité fait le reste.

On you !

Nota : j'ai pris x et y sans rapport avec le problème en question.

bbrunol2 · 07-04-2012 14:11:07

Merci pour la petite astuce des dérivées, ça m'a aidé à débloquer un peu...
Du coup, pour l'élasticité-revenu du produit 1, je trouve -0.0417 (-4.1%) et pour l'élasticité-revenue du produit 0.1708 (17.08%). Est-ce que cela est envisageable comme réponse?

bbrunol2 · 07-04-2012 14:16:49

bbrunol2 a écrit :

et pour l'élasticité-revenue du produit 2 0.1708 (17.08%).

Après vérification en fait je trouve 0.3041 ...

freddy · 07-04-2012 15:31:59

Salut,

fais tu bien attention à ce que tu lis et écris ? ...

La demande du bien 1 de ton consommateur ne dépend pas de son revenu, comme je te l'ai fait remarquer. Donc l'élasticité revenu du bien 1 est nulle.

Peut être voulais tu parler de l'élasticité prix ?

bbrunol2 · 07-04-2012 15:53:32

Bon là par contre je ne comprend vraiment plus rien... Je laisse tomber pour cette question, cela fait des heures que je planche dessus et je n'arrive à rien de toute façon...
Merci en tout cas de toute l'aide que vous avez pu me donner jusqu'ici...

freddy · 07-04-2012 16:02:11

Re,

si tu baisses les bras là, ça reviens à dire que toutes les heures où t'as bossé n'ont servi à rien, t'aurais mieux fait de dormir :-)))

Laisse refroidir, fais autre chose, et reviens ce soir, l'esprit au clair. Je ne te lâche pas, mais je veux que tu comprennes ce que tu fais.

Quand tu auras l'esprit plus disponible, reprends avec méthode. La seule difficulté dans ce genre de sujet est que tu as beaucoup de variables et il faut que tu te concentres sur les bonnes.

Allez, à toute à l'heure.

Dernière modification par freddy (07-04-2012 16:14:32)

bbrunol2 · 07-04-2012 16:51:03

Oui mais bon c'est plutôt décourageant...
Pour l'élasticité-revenu du bien 2, j'ai posé ceci:

[tex]{E}_{x1}=\,\frac{\Delta {{x}_{1}/{x}_{1}}^{}}{\Delta R/R}=\frac{d{x}_{1}}{dR}X\frac{{x}_{1}}{R}[/tex]

j'utilise la dérivée usuelle U X V = U'V+UV' pour déjà trouver la dérivée de x2

je trouve une très grande dérivée pour x2 (trop grande pour pouvoir l'écrire en fait...), mais je voulais savoir si après avoir fait la dérivée, je pouvais remplacer dans cette expression p1, p2, x1, x2 et R par leur valeur? Est-ce que je commet une faute en faisant ça?

bbrunol2 · 07-04-2012 16:52:22

J'ai écris trop vite ma formule d'élasticité, ce n'est pas x1 mais x2 bien sûr...

freddy · 07-04-2012 17:38:36

Re,

je pense que les formules à appliquer te font peur car tu te laisses dominer par elles. Mais si tu cherches d'abord à donner du sens à ce que tu fais, les formules deviendront des outils à la disposition de ta pensée.

Dernière modification par freddy (07-04-2012 17:41:40)

freddy · 07-04-2012 17:43:59

Sinon,

[tex]e_{x_2/R}=\frac{d{x}_{2}}{dR}\times \frac{R}{{x}_{2}}=\frac{1}{{p}_{2}}\times \frac{R}{{x}_{2}}[/tex] que tu dois valoriser aux valeurs données.

Au passage, penses à calculer la quantité de bien 2 consommée !

Dernière modification par freddy (07-04-2012 21:51:00)

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#1 06-04-2012 12:11:32

DM de microéconomie difficile...

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