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Daudetarago

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sous-groupes monogènes d'un groupe non abélien

Bonjour à toutes et tous
[tex] GL_r(\mathbb Z/p\mathbb Z)[/tex] est le groupe multiplicatif non commutatif des matrices carrées [tex] r \times r [/tex] à coefficients dans [tex] \mathbb Z/p\mathbb Z[/tex]  (p premier)
L'ordre de [tex] GL_r(\mathbb Z/p\mathbb Z)[/tex] est [tex] n=p^{\frac{r(r-1)}{2}}(p^r-1)(p^{r-1}-1) \ldots (p^2-1)(p-1) [/tex]
L'ordre K d'une matrice[tex](m)[/tex] de [tex] GL_r(\mathbb Z/p\mathbb Z)[/tex] est le plus petit entier non nul tel que
[tex] (m)^K=I [/tex]
K est un diviseur de n.
Quelqu'un, grand merci à cette personne,  peut-il  dire si ce qui suit est vrai et si oui merci pour la piste qui permet de le démonter:
1) le nombre de sous-groupes monogènes de   [tex] GL_r(\mathbb Z/p\mathbb Z)[/tex] d'ordre p est exactement [tex] p^2 - 1 [/tex]
2) l'ordre d'un sous-groupe monogène est inférieur ou égal à  [tex] p^r - 1 [/tex]
P.S déjà proposé dans une précédente discussion mais avec un sujet autre
Merci
DAUDETARAGO

mseeker

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Re : sous-groupes monogènes d'un groupe non abélien

Je suis pas un spécialiste mais je tente :

1) Faux.
Puisque pour un sous-groupe monogène d'ordre p il faut au moins un générateur d'ordre p, je montre que s'il en existe un donnant un sous-groupe monogène, tous les autres appartiennent aussi à ce sous-groupe et donc il y a un unique sous-groupe d'ordre p.

2) Vrai.
Je pars du théorème de Lagrange, je sais donc que tout sous-groupe a un ordre qui divise n. Je remarque que les facteurs de l'expression de n sont premiers entre eux et que pour chacun on obtient un sous-groupe monogène. Je montre enfin que tout élément d'ordre = un produit de ces facteurs premiers est un générateur qui construit en fait le même sous-groupe que le plus grand des facteurs premiers. Je conclus que tous les sous-groupes monogènes ont un ordre inférieur ou égal à p^r-1 qui est le plus grand facteur premier de l'expression de n.

C'est flou et je peux évidemment me tromper mais plus détaillé ça me prendrait trop de temps :).
Si quelqu'un peut me contredire ça me ferait progresser !

Daudetarago

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Re : sous-groupes monogènes d'un groupe non abélien

Bonjour et merci mseeker
Il y avait confusion de ma part entre nombre de groupes monogènes d'ordre p et nombre d'éléments différents de
[tex] GL_r( \mathbb Z/p \mathbb Z) [/tex] présents dans un groupe d'ordre p
On appelle U  l'ensemble constitué par ces éléments différents présents dans des groupes d'ordre p et la matrice unité [tex]I[/tex] qui est d'ordre 1 et on suppose qu'il y a [tex] p^2 - 1[/tex] éléments d'ordre p dans U et donc [tex]|U|=p^2[/tex]
C'est possible en procédant de la façon suivante
On choisit un élément (m) de U différent de l'unité [tex] I [/tex]
On pose [tex] U_m= \{ (m),(m)^2, \ldots, (m)^{p-2},(m)^{p-1},I \} [/tex] sous-groupe monogène d'ordre p qui "consomme"
(p-1) éléments différents d'ordre p.
Ensuite on choisit un élément [tex] (m_1) [/tex] d'ordre p qui n'appartient pas à [tex] U_m[/tex] et on considère l'ensemble [tex] U_{m_1}=(m_1)U_m[/tex]
[tex] U_{m_1}[/tex] consomme p autres éléments différents de U puis on choisit un élément [tex] (m_2) [/tex] qui n'appartient ni à [tex] U_m[/tex] ni à [tex] U_{m_1}[/tex] on considère l'ensemble [tex] U_{m_2}=(m_2)U_{m} [/tex] et ainsi de suite
On devrait obtenir ainsi p sous-ensembles de U d'ordre p tous disjoints. Dans U il y aurait p×p éléments dont un seul la matrice [tex]I
[/tex] ne serait pas d'ordre p
Bonne journée
A+ pour le deuxième problème

Daudetarago

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Re : sous-groupes monogènes d'un groupe non abélien

Rebonjour
La partition [tex](m_i)U_m [/tex] ne comporte qu'un seul groupe monogène [tex] U_m [/tex] les autres ne sont pas même pas des groupes puisqu'ils ne comportent pas [tex] I [/tex] mais ce sont quand même des ensembles à p éléments tous dans des groupes monogènes à p éléments

Exemple
[tex] GL_3( \mathbb Z /3 \mathbb Z) [/tex]

il y a [tex] 3^{\frac {3(3-1)}{2}}(3^3-1)(3^2-1)(3-1)=11232=2^5×3^3×13 [/tex] matrices différentes dans [tex] GL_3( \mathbb Z /3 \mathbb Z) [/tex]

On voit  ci-dessous dans les résultats informatiques
qu'il y a 728 matrices différentes qui appartiennent à des groupes monogènes d'ordre p=3
ce qui donne raison à  mseeker puisqu'il n'y en a pas exactement   [tex]p^2-1= 3^2-1=8 [/tex]
avec la technique de partition  [tex](m_i)U_m [/tex] il devrait y avoir pour un élément (m) choisi 729/3=243 ensembles disjoints d'ordre 3 dont un seul est un groupe monogène [tex] U_m=\{(m),(m)^2,I \} [/tex]

Certains diviseurs de 11232 comme  [tex]3^2, 2^2×3, 2^4, 2×3^2, 2^3×3 [/tex] ne sont pas des ordres de groupes monogènes

Sont des ordres de groupes monogènes
[tex] 1, 2, 3, 2^2, 2×3, 2^3, 13, 2×13 [/tex]

L'ordre le plus grand pour un groupe monogène est bien [tex] p^r - 1 = 3^3 - 1 = 26 [/tex]

Résultats informatiques

"(m)^1=I   1  matrice(s)"
"(m)^2=I   235  matrice(s)"
"(m)^3=I   728  matrice(s)"
"(m)^4=I   1404  matrice(s)"
"(m)^5=I   0  matrice(s)"
"(m)^6=I   2600  matrice(s)"
"(m)^7=I   0  matrice(s)"
"(m)^8=I   2808  matrice(s)"
"(m)^9=I   0  matrice(s)"
"(m)^10=I   0  matrice(s)"
"(m)^11=I   0  matrice(s)"
"(m)^12=I   0  matrice(s)"
"(m)^13=I   1728  matrice(s)"
"(m)^14=I   0  matrice(s)"
"(m)^15=I   0  matrice(s)"
"(m)^16=I   0  matrice(s)"
"(m)^17=I   0  matrice(s)"
"(m)^18=I   0  matrice(s)"
"(m)^19=I   0  matrice(s)"
"(m)^20=I   0  matrice(s)"
"(m)^21=I   0  matrice(s)"
"(m)^22=I   0  matrice(s)"
"(m)^23=I   0  matrice(s)"
"(m)^24=I   0  matrice(s)"
"(m)^25=I   0  matrice(s)"
"(m)^26=I   1728  matrice(s)"