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goudin

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[Résolu] identite remarquable Lagrange

comment demontrer l'identite remarquable de Lagrange:
(a²+b²)(c²+d²)=(ac+bd)²+(ad-bc)²
merci de votre AIDE

yoshi

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Re : [Résolu] identite remarquable Lagrange

BONJOUR

Mes majuscules équivalent à un hurlement...

Bon, c'est un petit tour de "passe-passe" que tu demandes, le même qui est utilisé pour écrire un trinôme du 2nd degré sous sa forme canonique.
Méthode : développer, regrouper les 4 termes deux par deux autrement (en gardant en ligne de mire la forme attendue de la réponse),  puis considérer les deux premiers termes obtenus alors (et les deux derniers) comme le début du développement du carré d'une somme (et d'une d'une différence)

On commence :
(a²+b²)(c²+d²) = a²c² + a²d²  +  b²c² + b²d²  = a²c² +  b²d²    +   a²d² + b²c² = (ac)² + (bd)²   +   (ad)² + (bc)²

Or, (ac + bd)² = (ac)² + (bd)² + 2abcd... D'où  (ac)² + (bd)² = (ac + bd)² - 2abcd (on a ajouté -2abcd de chaque côté)
A noter (et ça servira par la suite (!) ) que j'aurais pu tout aussi bien écrire :
(ac - bd)² = (ac)² + (bd)² - 2abcd... D'où  (ac)² + (bd)² = (ac - bd)² + 2abcd

Revenons à nos moutons...
J'ai donc pour l'instant trouvé que :
(a²+b²)(c²+d²)= (ac + bd)² - 2abcd + (ad)² + (bc)².
Et c'est là que tu interviens : si j'ai été clair, tu dois pouvoir triturer de la même façon (d'où l'aparté ci-dessus en Italique) la partie (ad)² + (bc)² en pensant bien que tu pouvoir éliminer les 2abcd
Et tu aboutiras bien sue l'identité remarquable ci-dessus que je ne connaissais pas : à noter d'ailleurs à cause de ce qui précède qu'il devrait y en avoir une deuxième :  (a²+b²)(c²+d²) = (ac - bd)² + (ad + bc)²... A toi de confirmer.

Si je n'ai pas été clair, alors faut pas hésiter à le dire...

@+

Dernière modification par yoshi (27-09-2006 15:25:19)