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#1 16-04-2011 13:31:53
- jpp
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La donnée manquante.
Bonjour à tous
Sur le cahier des charges de la fabrication d'un récipient , on lisait ceci:
1° matière : jppium de densité: [tex]4 [/tex]___ c'est un matériau composite pour cet unique
exemplaire
2° Ses formes extérieures et intérieures sont 2 troncs de cone parfaits ___ c.a.d. qu'il ne sera
réalisé aucun congé de raccordement ni meme de chanfrein ____ les arètes sont donc vives.
3° Les 2 grandes bases sont sur un meme plan. Le bord du récipient est donc sur un plan.
4° Diamètre intérieur du fond: [tex] 400 mm[/tex]
Diamètre intérieur du haut :[tex] 800 mm[/tex]
Profondeur : [tex]500 mm[/tex]
ce sont les cotes de la partie intérieure
5° La masse du récipient plein d'[tex]EAU[/tex] doit etre le septuple de celle de celle du récipient vide.
6° L'épaisseur de la partie conique est la meme que celle du fond.
La définition du produit s'arète là. Et dans la semaine ,sortait d'usine un récipient unique répondant
parfaitement au cahier des charges.
Question: comment le compagnon qualifié a-t-il obtenu l'épaisseur du récipient ?
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#3 16-04-2011 18:22:02
- jpp
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Re : La donnée manquante.
salut Nérosson.
masse volumique de l'eau = 1 , et 4 pour celle du contenant
de l'eau de mer , je crois qu'on ne peut meme pas en prélever . ils ont peur qu'on
fasse la soupe avec. quand à la mer morte , on va bientot marcher dessus.
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#4 17-04-2011 13:39:55
- nerosson
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Re : La donnée manquante.
Salut à tous,
JPP, tu te prends pour Jésus Christ, et tu mériterais le même sort pour nous poser des colles pareilles.
Je suis bien trop flemmard pour faire ces calculs compliqués et en plus je pense qu'il y a plusieurs chausse-trapes dans ton truc.
Si j'essayais, je pense que je calculerais le poids de l'eau (tronc de cône intérieur) : pas de difficulté me semble-t-il. En prenant le sixième, j'aurais le poids total du récipient.
une idée : est-ce que le volume du récipient ne doit pas être un vingt quatrième du volume de l'eau : 6 X 4 = 24 ?
Ayant le poids et le volume du récipient, il doit être possible de déterminer son épaisseur.
"Laisse un peu mesurer les autres" comme disait César à Marius (ceux de Pagnol).
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#5 18-04-2011 08:02:53
- totomm
- Invité
Re : La donnée manquante.
Bonjour,
En suivant les conseils avisés de nerosson, on doit facilement retirer un triangle à un rectangle et charger son grand ami Guldin de les transformer en volumes...
Je parie qu'on trouvera entre 1 et 10 mm d'épaisseur
Cordialement
#6 18-04-2011 08:38:39
- jpp
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Re : La donnée manquante.
Bonjour.
@ Nérosson. c'est une bonne idée.
@ Totomm . Le théorème de guldin peut s'avérer très pratique à condition de ne pas tomber
dans des calculs de "ouf" pour déterminer un barycentre. Mais pourquoi pas .
Bon courage .
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#7 18-04-2011 16:51:05
- totomm
- Invité
Re : La donnée manquante.
Bonjour,
Récipient de révolution autour de l'axe AD
Volume extérieur ABED, les distances à AD des centres de gravité du rectangle ABCD et du triangle BCE sont "immédiates"
Point n'est donc besoin de courage...
#8 18-04-2011 23:40:42
- jpp
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Re : La donnée manquante.
Bonsoir.
@ Totomm .
Je viens d'essayer la méthode guldin en ce qui concerne le calcul des volumes et ça
fonctionne aussi. On trouve aussi l'épaisseur , mais c'est un peu plus long.
Dernière modification par jpp (18-04-2011 23:44:05)
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#9 20-04-2011 19:29:49
- jpp
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Re : La donnée manquante.
Bonsoir à tous.
Un tronc de cone est la soustraction de 2 cones ( H,R) & ( h,r ) ou h & H sont les hauteurs et R & r
les rayons de base.
le demi angle au sommet [tex] \alpha = \arctan\left(\frac{R}{H}\right) = \arctan\left(\frac{r}{h}\right)[/tex]
On pose [tex] T = \frac{R}{H} = \frac{r}{h}\;\; et H = T\times{R} et h = T\times{r}\; et \;H_1 = H - h[/tex]
Le volume du tronc de cone s'écrit :
[tex] V_1 = \frac{\pi}{3}\times\left(HR^2 - hr^2\right)[/tex]
[tex]V_1 = \frac{\pi\times{T}}{3} \times{\left(R^3 - r^3\right)}[/tex]
[tex] V_1 = \frac{\pi\times{T}\times{(R-r)}}{3} \times \left(R^2 + R.r + r^2\right) =\frac{\pi\times{H_1}}{3}\times\left(R^2 + R.r + r^2\right)[/tex]
On remarquera que pour le calcul du volume du tronc de cone intérieur [tex]( R , r , H_1) \;\; R = 2r[/tex]
et le volume [tex] V_1 = \frac{7\pi\times{H_1}\times{r^2}}{3}[/tex]
Dernière modification par jpp (20-04-2011 19:43:52)
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#10 20-04-2011 20:25:34
- jpp
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Re : La donnée manquante.
Re.
Pour la suite des opérations , je vais poser [tex] H_1 = h = 500 \; r = 200 \; R = 2r = 400 [/tex]
On ajoutera 2 constantes: [tex] a = \tan\left(\frac{\frac{\pi}{2}-\widehat{\alpha}}{2}\right) \; et \; b = \frac{1}{\cos\widehat\alpha} \; \; [/tex] et enfin l'inconnue [tex] \;\; e [/tex]
Avec ces 2 nouvelles constantes on est en mesure de calculer le volume [tex] V_2 [/tex] du tronc de
cone extérieur.
son petit rayon s'écrit [tex] r_2 = r + a.e \;\;[/tex] son grand rayon [tex] \;\; R_2 = 2r + b.e \;\; [/tex] et sa hauteur [tex] H_2 = h + e [/tex]
je peux donc écrire le volume:
[tex]V_2 = \frac{\pi.(h + e)}{3}\times{\left[(r + a.e)^2 + (r + a.e).(2r + b.e) + (2r + b.e)^2\right]}[/tex]
[tex] V_2 = \frac{\pi.(h + e)}{3}\times{\left[r^2 + 2a.r.e + a^2.e^2 +2r^2 + 2a.r.e + b.r.e + a.b.e^2 + 4r^2 + 4b.r.e + b^2.e^2\right]}[/tex]
et enfin:
[tex] V_2 = \frac{\pi}{3}\times{\left[ (a^2 + a.b + b^2)\times{e^3} + (4a.r + 5b.r + a^2.h + a.b.h + b^2.h)\times{e^2} + (7r^2 + 4a.r.h + 5b.r.h )\times{e} + 7h.r^2\right]}[/tex]
On remarquera que la constante finale [tex] \frac{7\pi.h.r^2}{3}[/tex] est en fait le volume [tex]V_1[/tex] du contenu en eau.
et d'après les hypothèses [tex] 24\times{V_2} - 25\times{V_1} = 0[/tex]
Par conséquence on obtient l'équation:
[tex] 8\pi(a^2 + a.b + b^2)\times {e^3} + 8\pi(4a.r + 5b.r + a^2.h + a.b.h + b^2.h)\times{e^2} + 8\pi(7r^2 + 4a.r.h +5b.r.h )\times{e} - \frac{7\pi.r^2.h}{3} = 0[/tex]
En reportant dans l'équation les valeurs des 4 constantes [tex] a , b , r , h [/tex] il s'ensuit:
[tex] 59.000629215 \times{e^3} + 68171.041401988\times{e^2} + 26372530.941205\times{e} - 146607657.16752 = 0[/tex]
donne une racine réelle [tex] e \approx 5.48108 mm[/tex]
demain la méthode "Guldin" avec les barycentre
à plus.
Dernière modification par jpp (20-04-2011 21:31:24)
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#11 21-04-2011 18:55:49
- jpp
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Re : La donnée manquante.
Bonsoir.
Avec l'utilisation du théorème de guldin , pour avoir le volume [tex] V_2[/tex] , il faut calculer le
volume [tex] V_c[/tex] du cylindre obtenu par balayage de la surface du rectangle ABCD autour
de l'axe AD , puis lui retirer [tex] V_t [/tex] qui est le volume obtenu par balayage , du triangle
rectangle EBC . ( voir le dessin du post #7 )
Pour cela il faut formuler les distances [tex] D_c et D_t [/tex] des barycentres des 2 aires
précédemment citées __ c.a.d. le rectangle ABCD et le triangle EBC
Alors [tex] D_c = \frac{2r + b.e}{2} et D_t = r + a.e + \frac{2}{3}.(r + b.e - a.e) = \frac{1}{3}.(5.r + a.e + 2b.e)[/tex]
L'aire du rectangle ABCD s'écrit [tex] A_r = (2.r +b.e)\times{(h + e)}[/tex]
L'aire du triangle EBC s'écrit [tex] A_t = \frac{h + e}{2}\times{(r + b.e - a.e)}[/tex]
Le volume du cylindre sera donc [tex] V_c = 2\pi\times{D_c}\times{A_r}[/tex]
Le volume obtenu par balayage de [tex] A_t [/tex] sera [tex] V_t = 2\pi\times{D_t}\times{A_t}[/tex]
alors [tex] V_c = 2\pi\times\frac{(2.r +b.e)}{2}\times{(2.r + b.e)}\times{(h + e)}[/tex]
et [tex] V_t = \frac{2\pi}{3}\times{(5r + a.e + 2b.e)}\times{\frac{h + e}{2}\times{(r + b.e -a.e)}}[/tex]
En développant les 2 polynomes et en faisant [tex] V_c - V_t [/tex] on obtient bien [tex] V_2[/tex]
obtenu au post précédant.
Dernière modification par jpp (21-04-2011 19:30:59)
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